De Algemene Relativiteitstheorie van Einstein

Deel VII – Vragen en Discussie

7 Antwoorden op Vragen

7.1 Afleiding van de Schwarzschild‑Formule naar de eigentijd \( \tau \)

Vraag:
Wat ik moeilijk te accepteren vind in de algemene relativiteitstheorie is de afleiding naar “\(ds\)”. Het lijn‑element is niets anders dan de lichtsnelheid, vermenigvuldigd met het lokaal gemeten tijdsverschil \(dt_{0}\) \((ds = c\,dt_{0})\). Ik kan \(dt/ds\) (verschil in kloktijden) begrijpen, maar wat betekent \(dx/ds\)?

Antwoord:
De verwarring ontstaat door de interpretatie van \(ds\). In de algemene relativiteitstheorie geldt: \[ ds = c\,d\tau, \] waarbij \( \tau \) de eigentijd is: de tijd die gemeten wordt door een klok die zich in rust bevindt ten opzichte van het object dat gemeten wordt — met andere woorden: de tijd op een klok die “meebeweegt” met het object zelf.

De grootheid \(dt\) daarentegen is de coördinaattijd in een universeel (of extern) referentiestelsel, bijvoorbeeld het centrum van een zwaartekrachtsveld (zoals het middelpunt van de aarde). Deze tijd \(t\) is dus geen direct gemeten tijd, maar een rekenkundige parameter die via de metriek kan worden afgeleid uit \(d\tau\).

De relatie tussen beide is: \[ d\tau = \sigma\,\gamma\,dt, \] waarbij:

• \(\sigma = \sqrt{1 - \dfrac{R_{s}}{r}}\) de gravitationele factor is (afgeleid uit de Schwarzschild‑oplossing),
• \(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}\) de Lorentzfactor,
• \(R_{s} = \dfrac{2GM}{c^{2}}\) de Schwarzschildstraal.

Afleiding uit de Schwarzschild‑metriek

We beschouwen het tijdsinterval op basis van de algemene vorm van het metrisch tensor‑product in een stilstaand, sferisch symmetrisch veld:

\[ c^{2} d\tau^{2} = A\,c^{2} dt^{2} - B\,dx^{2} - D\,dy^{2} - E\,dz^{2}, \] waarbij \(A, B, D, E\) de componenten van de metrische tensor zijn, afhankelijk van de positie in de ruimte (bijvoorbeeld van \(r\)).

\[ c^{2} d\tau^{2} = A\,c^{2} dt^{2} - B\,dx^{2} - D\,dy^{2} - E\,dz^{2}, \] waarbij \(A, B, D, E\) de componenten van de metrische tensor zijn, afhankelijk van de positie in de ruimte (bijvoorbeeld van \(r\)).

Deel beide zijden door \(c^{2} d\tau^{2}\): \[ 1 = A\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2} - \frac{B}{c^{2}}\left(\frac{dx}{d\tau}\right)^{2} - \frac{D}{c^{2}}\left(\frac{dy}{d\tau}\right)^{2} - \frac{E}{c^{2}}\left(\frac{dz}{d\tau}\right)^{2}. \]

We herschrijven de ruimtelijke afgeleiden via de kettingregel: \[ \frac{dx}{d\tau} = \frac{dx}{dt}\,\frac{dt}{d\tau}, \qquad \text{enz.} \]

Hiermee wordt de vergelijking: \[ 1 = A\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2} - \frac{B}{c^{2}}\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2} - \frac{D}{c^{2}}\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2} - \frac{E}{c^{2}}\left(\frac{dz}{dt}\right)^{2} \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2}. \]

Hierbij zijn dus \(x, y, z\) gedeeld door \(t\) in hun eigen frame en blijken snelheden te zijn in dat frame.

\[ 1 = A\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2} \left[ 1 - \frac{B}{A c^{2}}\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} - \frac{D}{A c^{2}}\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} - \frac{E}{A c^{2}}\left(\frac{dz}{dt}\right)^{2} \right]. \]

Definieer nu de snelheid: \[ v^{2} = \frac{B}{A}\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2} + \frac{D}{A}\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2} + \frac{E}{A}\left(\frac{dz}{dt}\right)^{2}. \]

Vul \(v\) in: \[ 1 = A\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2} \left(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right) = A\,\gamma^{2}\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2}. \]

Hieruit volgt: \[ \left(\frac{dt}{d\tau}\right)^{2} = \frac{\gamma^{2}}{A} \quad\Longrightarrow\quad d\tau^{2} = A\,\gamma^{2}\,dt^{2} = \sigma^{2}\gamma^{2} dt^{2}. \]

Of: \[ d\tau = \sigma\,\gamma\,dt. \]

Dit is de relatie tussen de tijd van de meetklok en de tijd op de oorsprong van het universele frame.

Conclusie

Deze afleiding toont de relatie aan tussen de eigentijd \(\tau\) (zoals gemeten door een bewegende klok in zijn eigen ruststelsel) en de coördinaattijd \(t\) (zoals gedefinieerd in het globale zwaartekrachtsveld). De rol van \(dx/ds\) wordt hierdoor ook duidelijk: het beschrijft de snelheid van ruimtelijke verandering per eenheid eigentijd — dus de projectie van de vier‑snelheid op de ruimtelijke coördinaten.

Deze relatie is fundamenteel binnen de algemene relativiteitstheorie en vormt de basis voor het analyseren van tijdsdilatatie in zwaartekrachtsvelden, zoals in het Hafele–Keating‑experiment en andere toepassingen van de Schwarzschild‑metriek.

7.2 Toelichting op de Transformatieformule van Einstein

In de algemene relativiteitstheorie is het fundamenteel dat fysische wetten invariant blijven onder coördinatentransformaties. De relatie tussen oude en nieuwe coördinatenstelsels wordt wiskundig uitgedrukt met behulp van een transformatieformule, gebaseerd op partiële afgeleiden.

1. Coördinatenstelsels

De formule staat voor de covariante transformatie tussen twee coördinatenstelsels. Het oude stelsel wordt aangeduid met \(x^{\beta}\), dus met coördinaatassen \((x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3})\). Het nieuwe stelsel wordt aangeduid met \(x'^{\alpha}\), dus met \((x'^{0}, x'^{1}, x'^{2}, x'^{3})\).

2. Transformatieformule

De differentiaal van de nieuwe coördinaten \(dx'^{\alpha}\) drukken we uit in termen van de differentiaal van de oude coördinaten \(dx^{\beta}\) als volgt: \[ dx'^{\alpha} = \frac{\partial x^{\beta}}{\partial x'^{\alpha}}\,dx^{\beta}. \]

Deze formule is geschreven volgens de Einstein‑notatie, wat betekent dat er een sommatie over \(\beta\) plaatsvindt.

Uitgeschreven betekent dit: \[ dx'^{\alpha} = \frac{\partial x^{0}}{\partial x'^{\alpha}}\,dx^{0} + \frac{\partial x^{1}}{\partial x'^{\alpha}}\,dx^{1} + \frac{\partial x^{2}}{\partial x'^{\alpha}}\,dx^{2} + \frac{\partial x^{3}}{\partial x'^{\alpha}}\,dx^{3}. \]

Voor elke waarde van \(\alpha = 0,1,2,3\) geeft dit een afzonderlijke vergelijking die elk van de nieuwe coördinatendifferentiëlen \((dx'^{0}, dx'^{1}, dx'^{2}, dx'^{3})\) uitdrukt in termen van de oude coördinaten.

3. Tensorvorm

In totaal krijgen we dan:

\[ \begin{aligned} dx'^{0} &= \frac{\partial x^{0}}{\partial x'^{0}}\,dx^{0} + \frac{\partial x^{1}}{\partial x'^{0}}\,dx^{1} + \frac{\partial x^{2}}{\partial x'^{0}}\,dx^{2} + \frac{\partial x^{3}}{\partial x'^{0}}\,dx^{3}, \\[6pt] dx'^{1} &= \frac{\partial x^{0}}{\partial x'^{1}}\,dx^{0} + \frac{\partial x^{1}}{\partial x'^{1}}\,dx^{1} + \frac{\partial x^{2}}{\partial x'^{1}}\,dx^{2} + \frac{\partial x^{3}}{\partial x'^{1}}\,dx^{3}, \\[6pt] dx'^{2} &= \frac{\partial x^{0}}{\partial x'^{2}}\,dx^{0} + \frac{\partial x^{1}}{\partial x'^{2}}\,dx^{1} + \frac{\partial x^{2}}{\partial x'^{2}}\,dx^{2} + \frac{\partial x^{3}}{\partial x'^{2}}\,dx^{3}, \\[6pt] dx'^{3} &= \frac{\partial x^{0}}{\partial x'^{3}}\,dx^{0} + \frac{\partial x^{1}}{\partial x'^{3}}\,dx^{1} + \frac{\partial x^{2}}{\partial x'^{3}}\,dx^{2} + \frac{\partial x^{3}}{\partial x'^{3}}\,dx^{3}. \end{aligned} \]

Dit kan ook worden weergegeven als een matrix‑ of tensorvorm:

\[ \begin{pmatrix} dx'^{0} \\ dx'^{1} \\ dx'^{2} \\ dx'^{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x^{0}}{\partial x'^{0}} & \dfrac{\partial x^{1}}{\partial x'^{0}} & \dfrac{\partial x^{2}}{\partial x'^{0}} & \dfrac{\partial x^{3}}{\partial x'^{0}} \\[6pt] \dfrac{\partial x^{0}}{\partial x'^{1}} & \dfrac{\partial x^{1}}{\partial x'^{1}} & \dfrac{\partial x^{2}}{\partial x'^{1}} & \dfrac{\partial x^{3}}{\partial x'^{1}} \\[6pt] \dfrac{\partial x^{0}}{\partial x'^{2}} & \dfrac{\partial x^{1}}{\partial x'^{2}} & \dfrac{\partial x^{2}}{\partial x'^{2}} & \dfrac{\partial x^{3}}{\partial x'^{2}} \\[6pt] \dfrac{\partial x^{0}}{\partial x'^{3}} & \dfrac{\partial x^{1}}{\partial x'^{3}} & \dfrac{\partial x^{2}}{\partial x'^{3}} & \dfrac{\partial x^{3}}{\partial x'^{3}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx^{0} \\ dx^{1} \\ dx^{2} \\ dx^{3} \end{pmatrix}. \]

\[ \begin{pmatrix} dx'^{0} \\ dx'^{1} \\ dx'^{2} \\ dx'^{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x^{0}}{\partial x'^{0}} & \dfrac{\partial x^{1}}{\partial x'^{0}} & \dfrac{\partial x^{2}}{\partial x'^{0}} & \dfrac{\partial x^{3}}{\partial x'^{0}} \\[6pt] \dfrac{\partial x^{0}}{\partial x'^{1}} & \dfrac{\partial x^{1}}{\partial x'^{1}} & \dfrac{\partial x^{2}}{\partial x'^{1}} & \dfrac{\partial x^{3}}{\partial x'^{1}} \\[6pt] \dfrac{\partial x^{0}}{\partial x'^{2}} & \dfrac{\partial x^{1}}{\partial x'^{2}} & \dfrac{\partial x^{2}}{\partial x'^{2}} & \dfrac{\partial x^{3}}{\partial x'^{2}} \\[6pt] \dfrac{\partial x^{0}}{\partial x'^{3}} & \dfrac{\partial x^{1}}{\partial x'^{3}} & \dfrac{\partial x^{2}}{\partial x'^{3}} & \dfrac{\partial x^{3}}{\partial x'^{3}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} dx^{0} \\ dx^{1} \\ dx^{2} \\ dx^{3} \end{pmatrix}. \]

Deze matrix stelt de Jacobiaan van de coördinatentransformatie voor, en beschrijft hoe vectorcomponenten transformeren tussen twee stelsels.

4. Interpretatie

Deze formule laat zien hoe een vector (of differentiaal) in het ene stelsel kan worden uitgedrukt in het andere stelsel. Belangrijk hierbij is:

• De transformatiefactoren \(\dfrac{\partial x^{\alpha}}{\partial x'^{\beta}}\) geven aan hoe de oude coördinaten veranderen met respect tot de nieuwe.
• In tensoranalyse spreken we van een covariante transformatie wanneer de indices rechts onder staan (zoals bij \(\partial x_{\beta}\)), en van een contravariante transformatie wanneer de indices boven staan (zoals bij \(dx^{\beta}\)).

5. Voorbeeld: Transformatie binnen de Schwarzschild‑metriek

Een praktische toepassing is de overgang van bolcoördinaten \((t, r, \theta, \varphi)\) naar cartesische coördinaten \((t, x, y, z)\). De ruimtelijke coördinaten worden getransformeerd via:

\[ x = r\sin\theta\cos\varphi, \qquad y = r\sin\theta\sin\varphi, \qquad z = r\cos\theta. \]

De bijbehorende differentiaaltransformaties voor \(dx, dy, dz\) kunnen vervolgens worden afgeleid met behulp van de kettingregel, precies zoals hierboven geformaliseerd:

\[ dx = \frac{\partial x}{\partial r}\,dr + \frac{\partial x}{\partial \theta}\,d\theta + \frac{\partial x}{\partial \varphi}\,d\varphi, \] \[ dy = \frac{\partial y}{\partial r}\,dr + \frac{\partial y}{\partial \theta}\,d\theta + \frac{\partial y}{\partial \varphi}\,d\varphi, \] \[ dz = \frac{\partial z}{\partial r}\,dr + \frac{\partial z}{\partial \theta}\,d\theta. \]

Deze transformaties vormen de basis voor het herschrijven van de Schwarzschild‑metriek van bolcoördinaten naar cartesische coördinaten, zoals Schwarzschild zelf in zijn oorspronkelijke artikel deed.

7.3 Antwoord op vragen betreffende Schwarzschild

Vraag 1:
Waar komt de algemene relativiteitsformule met de Ricci‑tensor vandaan, die pas na 1916 algemeen gebruikt werd?

Antwoord:
De volledige veldvergelijkingen van de algemene relativiteitstheorie, inclusief de Ricci‑tensor, maakten vanaf het begin deel uit van Einsteins theorie. De vereenvoudigde versie met de voorwaarde \(g = -1\) werd later gebruikt om de vergelijkingen wiskundig eenvoudiger te maken, maar deze beperking verkleint het aantal mogelijke oplossingen.

In veel literatuur wordt de tensor \(G_{\mu\nu}\) de Einstein‑tensor genoemd. Einstein zelf presenteerde deze tensor als: \[ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R. \]

Hierin is:

• \(R_{\mu\nu}\): de Ricci‑tensor,
• \(R\): de Ricci‑scalar (het spoor van de Ricci‑tensor),
• \(g_{\mu\nu}\): de metrische tensor van de ruimte‑tijd.

De Ricci‑scalar is gegeven door: \[ R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu} = g^{00} R_{00} + g^{11} R_{11} + g^{22} R_{22} + g^{33} R_{33}. \]

Contractie van de Einstein‑veldvergelijkingen met \(g^{\mu\nu}\) levert: \[ g^{\mu\nu} G_{\mu\nu} = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g^{\mu\nu} g_{\mu\nu} R = R - \frac{1}{2}(4)R = -R. \]

De volledige Einstein‑veldvergelijkingen luiden: \[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8\pi G}{c^{4}}\, T_{\mu\nu}, \] waarbij:

• \(R_{\mu\nu}\): de Ricci‑tensor,
• \(g_{\mu\nu}\): de metrische tensor,
• \(G\): de gravitatieconstante,
• \(T_{\mu\nu}\): de energie‑impuls‑tensor,
• \(c\): de lichtsnelheid.

Buiten een massieve bol bevindt zich geen materie of energie. In dat geval is: \[ T_{\mu\nu} = 0, \] en vereenvoudigen de veldvergelijkingen zich tot: \[ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = 0. \]

We weten dat: \[ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} g^{\mu\nu} R_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}(4) R_{\mu\nu} = - R_{\mu\nu}. \]

Waaruit volgt: \[ G_{\mu\nu} = 0 \quad\text{alleen als}\quad R_{\mu\nu} = 0 \quad\text{en dus ook}\quad R = 0. \]

Achtergrond: van Riemann tot Ricci

Einstein bouwde voort op het werk van Riemann, die reeds een wiskundige beschrijving van gekromde oppervlakken had ontwikkeld. De Riemann‑tensor: \[ R_{\mu\beta\rho\nu} \] is een tensor van rang vier en moeilijk te visualiseren. Omdat de massa‑energie‑impulstensor \(T_{\mu\nu}\) slechts twee indices heeft, moet de Riemann‑tensor worden omgezet van vier naar twee indices.

Met behulp van de metrische tensor kan de covariante Riemann‑tensor worden omgezet in een gedeeltelijk contravariante vorm: \[ R^{\beta}{}_{\mu\rho\nu} = g^{\beta\alpha} R_{\mu\alpha\rho\nu}. \]

Dit is nodig om de gewenste contractie uit te voeren. Door \(\beta = \rho\) te stellen, kan de contractie worden uitgevoerd met als resultaat de Ricci‑tensor: \[ R^{\beta}{}_{\mu\beta\nu} = R_{\mu\nu}. \]

Hierbij is de Ricci‑tensor dus het spoor van de Riemann‑tensor.

De rol van Christoffel‑symbolen

De Ricci‑tensor kan ook worden uitgedrukt in termen van de Christoffel‑symbolen: \[ R_{\mu\nu} = R^{\rho}{}_{\mu\rho\nu} = \Gamma^{\rho}_{\mu\nu,\rho} - \Gamma^{\rho}_{\mu\rho,\nu} + \Gamma^{\rho}_{\lambda\rho}\Gamma^{\lambda}_{\nu\mu} - \Gamma^{\rho}_{\nu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\mu\rho}. \]

waarbij het Christoffel‑symbool zelf luidt: \[ \Gamma^{\rho}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\rho\alpha} \left( \frac{\partial g_{\nu\alpha}}{\partial x^{\mu}} + \frac{\partial g_{\mu\alpha}}{\partial x^{\nu}} - \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\alpha}} \right). \]

De afgeleide van het Christoffel‑symbool wordt dan: \[ \Gamma^{\rho}_{\mu\nu,\gamma} = \frac{\partial \Gamma^{\rho}_{\mu\nu}}{\partial x^{\gamma}} = - g^{\rho\alpha} \frac{\partial g_{\rho\alpha}}{\partial x^{\gamma}} \Gamma^{\rho}_{\mu\nu} + \frac{1}{2} g^{\rho\alpha} \left( \frac{\partial^{2} g_{\nu\alpha}}{\partial x^{\mu}\partial x^{\gamma}} + \frac{\partial^{2} g_{\mu\alpha}}{\partial x^{\nu}\partial x^{\gamma}} - \frac{\partial^{2} g_{\mu\nu}}{\partial x^{\alpha}\partial x^{\gamma}} \right). \]

Bij het berekenen van de Ricci‑elementen \(R_{00}, R_{11}, R_{22}, R_{33}\) met de volledige Einstein‑veldvergelijkingen blijkt dat deze allemaal nul zijn, wat correct is. Maar wanneer we de berekening doen met de beperkte formule van de veldvergelijkingen \((g = -1)\), is het resultaat niet correct. Dus: de Schwarzschild‑vergelijking voldoet wél aan de algemene veldvergelijkingen maar niet aan de beperkte. Dit klopt omdat bij de Schwarzschild‑vergelijking: \[ g \neq -1. \]

Over de Schwarzschild‑oplossing en de beperking \(g = -1\)

Schwarzschild gebruikt de welbekende polaire vergelijking. De determinant van de metrische tensor (hier het product van de coëfficiënten) is niet \(-1\). Deze polaire vergelijking voldoet aan de Einstein‑veldvergelijkingen, maar niet aan de beperkte versie van deze vergelijkingen, omdat bij de laatste \(g = -1\) vereist is.

Schwarzschild heeft een transformatie afgeleid, gebaseerd op aangepaste polaire coördinaten, waarbij hij de transformatie zó koos dat \(g = -1\) wordt gehaald. In dat geval voldoet de vergelijking ook aan de beperkte Einstein‑veldvergelijkingen.

Conclusie

Hoewel Schwarzschild probeerde te voldoen aan Einsteins wens om de metrische spoor \(g = -1\) te hebben, is mijns inziens de enige relevante vraag dat de Einstein‑veldvergelijkingen — waarbij \(T_{\mu\nu} = 0\), en dus \[ R_{00} = R_{11} = R_{22} = R_{33} = 0, \] — worden nageleefd, ongeacht of \(g = -1\) of \(g \neq -1\). Dus: de eis van \(g = -1\) is een onnodige beperking.

Vraag 2:

De consequentie van het verschil in formules is groot. In jouw document tel ik negen Christoffel‑symbolen, terwijl Karl Schwarzschild er tien vond. Bij jou lijkt de \( \Gamma^{2}_{22} \) afwezig te zijn.

Dit komt omdat jouw definitie van de metrische tensor \(g\) verschilt van die van Schwarzschild: bij Schwarzschild zijn \(g_{22}\) en \(g_{33} = -1\), terwijl jij de coördinaat \(r\) toevoegt (bijvoorbeeld \(g_{22} = -r^{2}\)).

Ook Droste (1917), Eddington (1921), MWT (1975) en OAS (2007) hielden zich aan \(g = -1\) voor de Schwarzschild‑oplossing, zodat: \[ g_{22} = g_{33} = -1. \]

Dit roept de vraag op: denk je dat \(g = -1\) vereist is voor de Schwarzschild‑oplossing?

Antwoord:

In de oorspronkelijke afleiding van Schwarzschild werd gestart vanuit het Cartesiaanse coördinatenstelsel \((x, y, z)\). De metriek in die vorm heeft de volgende componenten: \[ g_{00} = \sigma^{2}, \qquad g_{11} = -\frac{1}{r^{4}\sigma^{2}}, \qquad g_{22} = -r^{2}\sin^{2}\theta, \qquad g_{33} = -r^{2}\sin^{2}\theta. \]

In dit geval worden tien (of veertien) relevante Christoffel‑symbolen gecreëerd. Ook zie je in mijn overzicht van formules dat ik formules heb afgeleid voor zowel de bolvormige als de Cartesiaanse \(x, y, z\) vorm. In de \(x, y, z\) vorm bestaat \(\Gamma^{2}_{22}\) inderdaad.

Voor de bolvormige vorm is dit echter anders; daar zijn de elementen van de metrische tensor:

\[ g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} \sigma^{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\dfrac{1}{\sigma^{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r^{2}\sin^{2}\theta \end{pmatrix}. \]

\[ g_{00} = \sigma^{2}, \qquad g_{11} = -\frac{1}{\sigma^{2}}, \qquad g_{22} = -r^{2}, \qquad g_{33} = -r^{2}\sin^{2}\theta. \]

Dit is exact dezelfde vorm als bij Schwarzschild. In deze bolcoördinaten zijn \(g_{22}\) en \(g_{33}\) expliciet afhankelijk van \(r\) en \(\theta\), en kunnen dus niet constant zijn, zoals bij \(g_{22} = g_{33} = -1\).

Als deze waarden constant zouden zijn, zouden de partiële afgeleiden \(\partial g_{22}/\partial r\), \(\partial g_{22}/\partial \theta\), \(\partial g_{33}/\partial r\), \(\partial g_{33}/\partial \theta\) allemaal nul zijn. Hierdoor zouden veel Christoffel‑symbolen — waaronder cruciale zoals \(\Gamma^{2}_{21}\) en \(\Gamma^{2}_{22}\) — eveneens verdwijnen.

Dit geldt ook voor Schwarzschild! De elementen \(g_{22}\) en \(g_{33}\) kunnen niet \(-1\) zijn, omdat in dat geval \(\partial g_{22}/\partial r\), \(\partial g_{22}/\partial \theta\), \(\partial g_{33}/\partial r\), \(\partial g_{33}/\partial \theta\) nul zouden zijn en het aantal Christoffel‑symbolen beperkt zou zijn tot slechts: \[ \Gamma^{0}_{01},\ \Gamma^{0}_{10},\ \Gamma^{1}_{00},\ \Gamma^{1}_{11}. \]

Wat betreft \(\Gamma^{2}_{22}\)

Voor bolcoördinaten is deze component inderdaad nul, omdat \(g_{22}\) niet afhankelijk is van \(\theta\) en de afgeleide dus nul is: \[ \Gamma^{2}_{22} = \frac{1}{2} g^{22} \frac{\partial g_{22}}{\partial \theta} = 0. \]

Belangrijk is wel dat bij evaluatie van componenten op een specifieke waarde zoals \(\theta = \pi/2\) (oftewel \(90^\circ\)) pas aan het einde van de berekeningen mag worden gesubstitueerd.

Bijvoorbeeld: \[ \Gamma^{3}_{32} = \frac{1}{2} g^{33} \left(-\frac{\partial g_{33}}{\partial \theta}\right) = -\frac{\cos\theta}{\sin\theta} = 0 \quad \text{bij } \theta = \frac{\pi}{2}. \]

Deze waarde wordt nul als \(\theta = \pi/2\), maar voor het Ricci‑element is ook de afgeleide van dit Christoffel‑symbool nodig: \[ \frac{\partial}{\partial \theta}\Gamma^{3}_{32} = -\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1 \quad \text{bij } \theta = \frac{\pi}{2}. \]

En die is dus niet nul, wat cruciaal is voor het berekenen van bijvoorbeeld het Ricci‑tensorcomponent \(R_{22}\).

Wat betreft de voorwaarde \(\det(g) = -1\)

Waarom Einstein deze restrictie introduceerde is niet volledig duidelijk, maar het maakt de algebra in veel gevallen eenvoudiger en zorgt voor symmetrie. Maar naar mijn mening leidt dit tot een onnodige beperking.

Het hangt ook af van welk type coördinatenstelsel wordt gekozen.

Bijvoorbeeld, het element van de metrische tensor in \((t, x, y, z)\) levert inderdaad: \[ \det(g) = \sigma^{2} \cdot \left(-\frac{1}{r^{4}\sigma^{2}}\right) \cdot (-r^{2}\sin^{2}\theta) \cdot (-r^{2}\sin^{2}\theta) = -1. \]

Maar met bolcoördinaten is het: \[ \det(g) = \sigma^{2} \cdot \left(-\frac{1}{\sigma^{2}}\right) \cdot (-r^{2}) \cdot (-r^{2}\sin^{2}\theta) = -r^{4}\sin^{2}\theta. \]

En dus is hier: \[ \det(g) \neq -1. \] Toch voldoet deze metriek perfect aan de Einstein‑veldvergelijkingen in vacuüm \((T_{\mu\nu} = 0)\), wat betekent dat: \[ R_{\mu\nu} = 0 \quad\text{en dus ook}\quad R = 0. \]

Conclusie:
De eis \(\det(g) = -1\) is een coördinaatafhankelijke conventie die wiskundig gemak kan bieden, maar fysisch niet noodzakelijk is voor de juistheid van de Schwarzschild‑oplossing. Wat werkelijk telt is dat de veldvergelijkingen worden vervuld. De keuze van Schwarzschild om een transformatie te gebruiken waarmee \(\det(g) = -1\) wordt bereikt, was vooral bedoeld om aan Einsteins wensen te voldoen, maar is vanuit fysisch oogpunt overbodig.

Vraag 3:

De veldvergelijkingen in jouw document op pagina 2 en 3, gebaseerd op de Ricci‑tensor, verschillen sterk van die welke wij (en Karl Schwarzschild) in bijlage E, op basis van de G‑tensor, hebben gebruikt. Je hebt de G‑tensor ook genoemd in jouw document op pagina 9. Mijn vraag is: zouden de resultaten niet hetzelfde moeten zijn?

Antwoord:

Onder de G‑tensor, zoals je noemt in je vraag, bedoel je de beperkte veldvergelijkingen van Einstein. Zoals ik in mijn verhaal theoretisch heb laten zien, voldoet Schwarzschild aan de algemene veldvergelijkingen maar niet aan de beperkte veldvergelijkingen \(G\). Dit komt omdat Einstein de extra eis \(\det(g) = -1\) introduceerde om eenvoudiger formules te krijgen, maar dit leidde tot een onnodige beperking van mogelijke oplossingen — waaronder de Schwarzschild‑vergelijking gebaseerd op bolvormige coördinaten.

Terwijl deze vergelijking juist een uitstekende oplossing is voor het, op relatief eenvoudige wijze, berekenen van verschijnselen in het vacuüm.

Vraag 4:

Ik heb nog steeds enige moeite met het begrijpen van de Schwarzschild‑vergelijking en de veldvergelijkingen van Einstein. Kun je hier wat dieper op ingaan?

Antwoord:

Het lijkt erop dat we ons opnieuw begeven in een discussie die we al eerder hebben gevoerd. Laat mij vooraf duidelijk stellen: het is niet mijn bedoeling om de Schwarzschild‑ of Einstein‑oplossing te verdedigen tegenover jouw benadering, of kritiek te leveren op jouw suggestie tot aanpassing van de Schwarzschild‑metriek.

Mijn streven is om tot een volledig begrip te komen. Zolang ik de Schwarzschild‑oplossing niet doorgrond, blijf ik zoeken naar inzicht. Pas wanneer ik een fundamentele fout herken én begrijp, zal ik overwegen de oplossing te herzien.

Laten we daarom eerst de Schwarzschild‑oplossing in detail bekijken, vóór we ons verdiepen in de Einstein‑veldvergelijkingen. Ik pretendeer niet het volledige antwoord al te kennen, maar ik wil hier uiteenzetten hoe ik de structuur tot nu toe begrijp.

Het uitgangspunt van Einstein

Einstein zocht naar een beschrijving van de zwaartekracht waarin zwaartekracht geen kracht meer is, zoals bij Newton, maar een gevolg van de kromming van de ruimte‑tijd.

Hij wilde een coördinatenstelsel vinden waarin geen krachten voelbaar zijn, zodat een vrij vallend deeltje zich voortbeweegt zonder versnelling — in zekere zin “vrijwillig”, zonder externe oorzaak.

In de klassieke mechanica beweegt een object met constante snelheid langs een rechte lijn als er geen kracht op werkt. Einstein vertaalde dit naar de relativiteitstheorie: een object zonder externe kracht beweegt langs een geodetische lijn in de gekromde ruimte‑tijd. Deze geodeten zijn in zekere zin de “rechte lijnen” van de kromme ruimte‑tijd.

Einstein zocht dus naar een wiskundige formulering die voor elk coördinatenstelsel, gekromd of niet, geldig is en het zwaartekrachtsveld correct beschrijft. Dit leidde tot de veldvergelijkingen: \[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = 0 \] in het vacuümgeval (buiten een massa), waarbij:

• \(R_{\mu\nu}\): de Ricci‑tensor, een maat voor lokale kromming,
• \(R\): de Ricci‑scalar, het spoor van de Ricci‑tensor,
• \(g_{\mu\nu}\): de metriek, die de ruimte‑tijdstructuur beschrijft.

Deze vergelijking is covariant: ze is geldig in elk willekeurig coördinatenstelsel.

Coördinaten, metriek en geometrie

Hoewel de veldvergelijkingen coördinatenonafhankelijk zijn, zijn de componenten van de betrokken tensors wél afhankelijk van de keuze van coördinatenstelsel. De Ricci‑tensor en de scalair \(R\) worden uitgedrukt in termen van de Christoffel‑symbolen, die zelf afgeleid zijn uit de metriek \(g_{\mu\nu}\).

De metriek beschrijft hoe de afstand \(ds^{2}\) tussen twee infinitesimaal nabije punten wordt berekend. In het eenvoudigste geval (bijvoorbeeld vlakke ruimte in Cartesische coördinaten) is dit: \[ ds^{2} = c^{2} dt^{2} - dx^{2} - dy^{2} - dz^{2}. \]

Maar in gekromde ruimte‑tijd hangt \(ds^{2}\) af van de locatie en van de metriekcomponenten. De metriek bevat informatie over de geometrische structuur van de ruimte, inclusief mogelijke kruistermen (zoals \(dx\,dy\)) als de coördinaten niet orthogonaal zijn.

Ter vergelijking:

• In een rechthoekig vlak geldt: \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) (Pythagoras).
• In een oblieke ruimte geldt: \(c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos\varphi\) (cosinusregel).

In analogie hiermee beschouwt Einstein de ruimte‑tijd als opgebouwd uit een oneindig aantal infinitesimaal kleine vlakjes, waarop de meetkunde lokaal als vlak kan worden beschouwd (via het equivalentieprincipe). In die kleine gebieden gebruiken we nog steeds een coördinatensysteem, maar de metriekcomponenten veranderen van locatie tot locatie — en coderen de kromming.

Schwarzschild’s benadering

Karl Schwarzschild vond een exacte oplossing van de Einstein‑vergelijkingen in vacuüm rond een bolvormige massa. Hij koos een coördinatenstelsel dat zoveel mogelijk symmetrie bevat:

• sferisch symmetrisch,
• statisch (tijdonafhankelijk),
• en zonder kruistermen (dus een diagonaalvormige metriek).

Dat levert de Schwarzschild‑metriek op: \[ ds^{2} = \left(1 - \frac{2GM}{c^{2} r}\right)c^{2} dt^{2} - \left(1 - \frac{2GM}{c^{2} r}\right)^{-1} dr^{2} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2}\sin^{2}\theta\, d\varphi^{2}. \]

Deze formule beschrijft het kwadratische lijnsegment \(ds^{2}\) als functie van vier coördinaten: \(t, r, \theta, \varphi\). De coëfficiënten (metriekcomponenten) hangen af van \(r\) (en impliciet via \(\sin^{2}\theta\) ook van \(\theta\)), maar niet van \(t\) of \(\varphi\).

Dat weerspiegelt de fysieke aannames: de oplossing is statisch (tijdonafhankelijk) en sferisch symmetrisch.

Elke locatie in de ruimte heeft zijn eigen metriekcomponenten, en dus zijn eigen meetkundige structuur. Door het integreren van \(ds\) langs een pad verkrijgen we de totale afstand of tijdsduur van het traject in deze gekromde ruimte‑tijd.

Samenvatting

• De Einstein‑veldvergelijkingen beschrijven hoe massa en energie de kromming van de ruimte‑tijd bepalen.
• De Ricci‑tensor en Einstein‑tensor zijn meetkundige objecten die onafhankelijk zijn van het coördinatenstelsel, maar hun componenten veranderen bij een andere coördinatenkeuze.
• Schwarzschild koos een specifiek coördinatenstelsel en vond een exacte oplossing voor het zwaartekrachtsveld buiten een bolsymmetrische massa.
• Zijn oplossing is consistent met de Einstein‑vergelijkingen en is nog steeds een van de belangrijkste oplossingen in de algemene relativiteitstheorie.

7.4 Gedetailleerde afleiding van de Einstein‑Vergelijking (57) vanuit vergelijking (53)

Vraag:
Ik ben Einsteins originele GR‑paper aan het lezen. Ik heb het als PDF bij deze e‑mail bijgevoegd. (Einstein, Relativity: The Special and General Theory, 1916 (this revised edition: 1924)) (Einstein, The Collected Papers of Albert Einstein, 1997)

In sectie 18, onderaan pagina 186 van het artikel (onderaan links op pagina 22 van de PDF), staat een vergelijking die ik probeer af te leiden met de methode die Einstein voorstelt in het artikel (vermenigvuldiging …

van vergelijking (53) met de afgeleide van de metrische tensor en gebruikmakend van de methoden in sectie 15). Zou je deze vergelijking op de specifieke manier die Einstein aangeeft kunnen afleiden, en uitsluitend gebaseerd op het voorgaande materiaal in Einsteins artikel? Kun je mij de gedetailleerde stappen laten zien die je hebt genomen om tot die vergelijking te komen volgens de methode die Einstein aangeeft?

Antwoord:

Opmerking: de vergelijkingsnummers verwijzen naar het originele werk van Einstein over Algemene Relativiteit.

Afleiding van vergelijking (57) uit vergelijking (53)

We vertrekken vanuit vergelijking (53) in Einsteins artikel: \[ \frac{\partial \Gamma^{\mu}_{\nu\alpha}}{\partial x^{\alpha}} + \Gamma^{\mu}_{\beta\alpha}\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha} = -\kappa\left( T^{\mu}{}_{\nu} - \frac{1}{2}\delta^{\mu}{}_{\nu} T \right), \] waarbij:

• \(T_{\mu\nu}\) de energie‑impuls‑tensor is,
• \(T = g^{\mu\nu} T_{\mu\nu}\) het spoor ervan is,
• en we aannemen dat \(-g = 1\), zoals Einstein in sectie 18 doet.

Stap 1: Vermenigvuldig met \(\dfrac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}\)

We vermenigvuldigen beide zijden van vergelijking (53) met \(\dfrac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}\), oftewel: \[ \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \left( \frac{\partial \Gamma^{\mu}_{\nu\alpha}}{\partial x^{\alpha}} + \Gamma^{\mu}_{\beta\alpha}\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha} \right) = \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \left[ -\kappa\left( T^{\mu}{}_{\nu} - \frac{1}{2}\delta^{\mu}{}_{\nu} T \right) \right]. \]

Dit leidt tot: \[ \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \frac{\partial \Gamma^{\mu}_{\nu\alpha}}{\partial x^{\alpha}} + \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \Gamma^{\mu}_{\beta\alpha}\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha} = -\kappa \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} T^{\mu}{}_{\nu} + \frac{\kappa}{2} \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \delta^{\mu}{}_{\nu} T. \]

Omdat \(\delta^{\mu}{}_{\nu} g_{\mu\nu} = g_{\mu}{}^{\mu}\) en we hier werken met \(-g = 1\), kunnen we de laatste term herschrijven als: \[ \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \delta^{\mu}{}_{\nu} = \frac{\partial g_{\mu}{}^{\mu}}{\partial x^{\sigma}}. \]

Stap 2: Gebruik dat \(\dfrac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} g^{\mu\nu} = 0\)

Uit vergelijking (29) in Einsteins artikel volgt: \[ \frac{1}{-g}\frac{\partial(-g)}{\partial x^{\sigma}} = -\frac{1}{2} g^{\mu\nu} \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}. \]

Omdat \(-g = 1\), is de afgeleide daarvan nul, dus: \[ 0 = -\frac{1}{2} g^{\mu\nu} \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}, \] en dus: \[ g^{\mu\nu} \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} = 0. \]

Dit betekent dat de contractie van \(\dfrac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}\) met \(g^{\mu\nu}\) nul is, wat in de verdere stappen van Einsteins afleiding wordt gebruikt om termen te laten verdwijnen en uiteindelijk tot vergelijking (57) te komen.

Uit vergelijking (29) volgt: \[ -\frac{1}{2} g^{\mu\nu} \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} = 0. \]

Ingevuld krijgen we: \[ -\kappa\, \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}\, T^{\mu\nu} - \frac{1}{2} g^{\mu\nu} \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}\, T = -\kappa\, \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}\, T^{\mu\nu} - 0 = -\kappa\, \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}\, T^{\mu\nu}. \]

Dan wordt de vergelijking: \[ \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \frac{\partial \Gamma^{\mu}{}_{\nu\alpha}}{\partial x^{\alpha}} + \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \Gamma^{\mu}{}_{\beta\alpha}\Gamma^{\beta}{}_{\nu\alpha} + \kappa\, \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}\, T^{\mu\nu} = 0. \]

De volgende stap geeft: \[ \frac{1}{2}\kappa\, \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \frac{\partial \Gamma^{\mu}{}_{\nu\alpha}}{\partial x^{\alpha}} + \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \Gamma^{\mu}{}_{\beta\alpha}\Gamma^{\beta}{}_{\nu\alpha} + \frac{1}{2} \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}\, T^{\mu\nu} = 0 \tag{1} \]

Vervang dit in: \[ \frac{1}{2}\kappa\, \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} - 2\kappa\, t_{\sigma}{}^{\alpha} + \frac{1}{2} \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}\, T^{\mu\nu} = 0. \]

Dit leidt tot: \[ -\frac{\partial t_{\sigma}{}^{\alpha}}{\partial x^{\alpha}} + \frac{1}{2} \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}\, T^{\mu\nu} = 0 \tag{2} \]

Gebruik nu Einsteins vergelijking (56): \[ \frac{\partial t_{\mu}{}^{\nu}}{\partial x^{\nu}} + T_{\mu}{}^{\nu} = 0. \]

Dus: \[ \frac{\partial t_{\mu}{}^{\sigma}}{\partial x^{\sigma}} = - \frac{\partial T_{\mu}{}^{\sigma}}{\partial x^{\sigma}}. \]

Vervang \(\sigma\) door \(\alpha\), en \(\mu\) door \(\sigma\): \[ \frac{\partial t_{\sigma}{}^{\alpha}}{\partial x^{\alpha}} = - \frac{\partial T_{\sigma}{}^{\alpha}}{\partial x^{\alpha}}. \]

De vergelijking (2) wordt dan: \[ \frac{\partial T_{\sigma}{}^{\alpha}}{\partial x^{\alpha}} + \frac{1}{2} \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}\, T^{\mu\nu} = 0. \]

En dit is precies Einsteins vergelijking: \[ \boxed{ \frac{\partial T_{\nu}{}^{\alpha}}{\partial x^{\alpha}} + \frac{1}{2} \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\nu}}\, T^{\mu\nu} = 0 } \tag{57} \]

Dit is exact Einsteins vergelijking (57), afgeleid volgens zijn eigen methode uit vergelijking (53), met uitsluitend gebruik van het materiaal uit secties 15–18 van zijn artikel.

Afleiding van de gele stap

We willen bewijzen dat: \[ \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} t_{\sigma}{}^{\alpha} - 2\kappa\, t_{\sigma}{}^{\alpha} = \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \frac{\partial \Gamma^{\mu}{}_{\nu\alpha}}{\partial x^{\alpha}} + \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \Gamma^{\mu}{}_{\beta\alpha}\Gamma^{\beta}{}_{\nu\alpha}. \]

We gebruiken Einstein vergelijking (48): \[ \frac{\partial H}{\partial g_{\mu\nu}} = -\Gamma^{\mu}{}_{\beta\alpha}\Gamma^{\nu}{}_{\alpha\beta}, \qquad \frac{\partial H}{\partial g_{\sigma\mu\nu}} = \Gamma^{\mu}{}_{\nu\sigma}. \]

En Einstein vergelijking (47b): \[ \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left( \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha\mu\nu}} \right) - \frac{\partial H}{\partial g_{\mu\nu}} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left( \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha\mu\nu}} \right) = \frac{\partial H}{\partial g_{\mu\nu}}. \]

De combinatie: \[ \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \frac{\partial \Gamma^{\mu}{}_{\nu\alpha}}{\partial x^{\alpha}} + \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \Gamma^{\mu}{}_{\beta\alpha}\Gamma^{\beta}{}_{\nu\alpha} \] kan worden herschreven als: \[ \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left( \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha\mu\nu}} \right) - \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \frac{\partial H}{\partial g_{\mu\nu}}. \]

Nu kunnen we differentiëren: \[ \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left( g_{\sigma\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha\mu\nu}} \right) - \frac{\partial g_{\sigma\mu\nu}}{\partial x^{\alpha}} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha\mu\nu}} - \frac{\partial H}{\partial g_{\mu\nu}} \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}. \]

Hier geldt: \[ \frac{\partial g_{\sigma\mu\nu}}{\partial x^{\alpha}} = \frac{\partial^{2} g_{\mu\nu}}{\partial x^{\alpha}\partial x^{\sigma}} = \frac{\partial g_{\alpha\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}. \]

Vul dit in: \[ \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left( g_{\sigma\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha\mu\nu}} \right) - \frac{\partial g_{\alpha\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha\mu\nu}} - \frac{\partial H}{\partial g_{\mu\nu}} \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}. \]

Zoals vermeld in Einsteins document onder vergelijking (47a), wordt \(H\) beschouwd als een functie van \(g_{\mu\nu}\) en \[ g_{\sigma\mu\nu} = \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}, \] dus: \[ \frac{\partial H}{\partial x^{\sigma}} = \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha\mu\nu}} \frac{\partial g_{\alpha\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} + \frac{\partial H}{\partial g_{\mu\nu}} \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}. \]

Vul dit in: \[ \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left( g_{\sigma\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha\mu\nu}} \right) - \frac{\partial H}{\partial x^{\sigma}} = 0. \]

En dit is precies de vorm die Einstein gebruikt om de gele stap te verkrijgen.

\[ \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left( g_{\sigma\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha\mu\nu}} \right) - \frac{\partial H}{\partial x^{\sigma}}. \]

Of: \[ \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left( g_{\sigma\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha\mu\nu}} \right) - \frac{\partial}{\partial x^{\sigma}}(H), \] \[ \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left( g_{\sigma\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha\mu\nu}} \right) - \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left( \delta^{\sigma}{}_{\alpha} H \right), \] \[ \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left( g_{\sigma\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha\mu\nu}} \right) - \delta^{\sigma}{}_{\alpha} H. \]

Volgens Einstein vergelijking (49): \[ -2\kappa\, t_{\sigma}{}^{\alpha} = g_{\sigma\mu\nu} \frac{\partial H}{\partial g_{\alpha\mu\nu}} - \delta^{\sigma}{}_{\alpha} H. \]

Vul dit in vergelijking (1): \[ \frac{1}{2}\kappa\, \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \frac{\partial \Gamma^{\mu}{}_{\nu\alpha}}{\partial x^{\alpha}} + \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \Gamma^{\mu}{}_{\beta\alpha}\Gamma^{\beta}{}_{\nu\alpha} + \frac{1}{2} \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}\, T^{\mu\nu} = 0 \] wordt: \[ \frac{1}{2}\kappa\, \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left( -2\kappa\, t_{\sigma}{}^{\alpha} \right) + \frac{1}{2} \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}\, T^{\mu\nu} = 0. \]

Dus: \[ \frac{1}{2}\kappa\, \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left( -2 t_{\sigma}{}^{\alpha} \right) + \frac{1}{2} \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}\, T^{\mu\nu} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} t_{\sigma}{}^{\alpha} + \frac{1}{2} \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}\, T^{\mu\nu} = 0, \] q.e.d.

7.5 Vraag over vergelijking in Einsteins origineel werk (Engelse versie)

Vraag:
Ik voeg opnieuw het PDF‑bestand toe van Einsteins artikel ter referentie (Einstein, Relativity: The Special and General Theory, 1916 – herziene editie 1924; ook in The Collected Papers of Albert Einstein, 1997).

Onderaan pagina 191 van de Engelse versie staan drie termen, gescheiden door gelijkheidstekens. Ik begrijp niet waarom de eerste term gelijk is aan de tweede. Einstein verwijst naar vergelijking (60), maar die helpt me niet verder. Kun je uitleggen waarom die twee termen aan elkaar gelijk zijn?

Antwoord:
We bekijken eerst vergelijking (60) in Einsteins originele Duitse artikel.

Op pagina 812 van het Duitse origineel lijkt een fout te staan in vergelijking (60): \[ \frac{\partial F_{\rho\sigma}}{\partial x^{\tau}} + \frac{\partial F_{\sigma\tau}}{\partial x^{\rho}} + \frac{\partial F_{\tau\rho}}{\partial x^{\rho}} = 0 \] Waarschijnlijk is dit verkeerd en zou het moeten zijn: \[ \frac{\partial F_{\rho\sigma}}{\partial x^{\tau}} + \frac{\partial F_{\sigma\tau}}{\partial x^{\rho}} + \frac{\partial F_{\tau\rho}}{\partial x^{\sigma}} = 0 \tag{60} \] In de Engelse vertaling (pagina 189) is het al gecorrigeerd.

Op pagina 191 (in het Engels) vinden we de vergelijking: \[ F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F_{\sigma}{}^{\mu}}{\partial x^{\nu}} = -\frac{1}{2} F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} = -\frac{1}{2} g^{\mu\alpha} g^{\nu\beta} \frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}. \tag{1} \] We richten ons op het eerste gelijkheidsteken: waarom geldt \[ F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F_{\sigma}{}^{\mu}}{\partial x^{\nu}} = -\frac{1}{2} F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}? \]

Volgens vergelijking (60) geldt: \[ \frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} + \frac{\partial F_{\nu\sigma}}{\partial x^{\mu}} + \frac{\partial F_{\sigma\mu}}{\partial x^{\nu}} = 0, \] dus: \[ \frac{\partial F_{\sigma\mu}}{\partial x^{\nu}} = - \frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} - \frac{\partial F_{\nu\sigma}}{\partial x^{\mu}}. \]

Invullen in vergelijking (1) geeft: \[ F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F_{\sigma}{}^{\mu}}{\partial x^{\nu}} = F_{\mu\nu} \left( - \frac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} - \frac{\partial F^{\nu}{}_{\sigma}}{\partial x^{\mu}} \right) = - F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} - F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F^{\nu}{}_{\sigma}}{\partial x^{\mu}}. \]

Nu splitsen we elke term in twee gelijke delen: \[ = -\frac{1}{2} F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} - \frac{1}{2} F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} - \frac{1}{2} F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F^{\nu}{}_{\sigma}}{\partial x^{\mu}} - \frac{1}{2} F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F^{\nu}{}_{\sigma}}{\partial x^{\mu}}. \]

Herschik de indices (dummy‑indices mogen verwisseld worden): \[ = -\frac{1}{2} F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} - \frac{1}{2} F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} + F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F^{\nu}{}_{\sigma}}{\partial x^{\mu}} + F_{\nu\mu}\,\frac{\partial F^{\mu}{}_{\sigma}}{\partial x^{\nu}}. \] Omdat \(F_{\nu\mu} = -F_{\mu\nu}\), wordt de laatste term: \[ F_{\nu\mu}\,\frac{\partial F^{\mu}{}_{\sigma}}{\partial x^{\nu}} = -F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F^{\mu}{}_{\sigma}}{\partial x^{\nu}}. \]

Dan krijgen we: \[ F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F_{\sigma}{}^{\mu}}{\partial x^{\nu}} = -\frac{1}{2} F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} -\frac{1}{2} F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} + F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F^{\nu}{}_{\sigma}}{\partial x^{\mu}} - F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F^{\mu}{}_{\sigma}}{\partial x^{\nu}}. \]

De laatste twee termen vormen samen een antisymmetrische combinatie die wegvalt (ze zijn elkaars negatieve bij verwisseling van dummy‑indices), zodat overblijft: \[ F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F_{\sigma}{}^{\mu}}{\partial x^{\nu}} = -\frac{1}{2} F_{\mu\nu}\,\frac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}, \] wat precies het eerste gelijkheidsteken in Einsteins vergelijking is.

Door de indices van \(\dfrac{\partial F_{\sigma\mu}}{\partial x^{\nu}}\) om te wisselen en het teken te veranderen: \[ = -\frac{1}{2} F_{\mu\nu}\frac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} -\frac{1}{2} F_{\mu\nu}\frac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} + F_{\mu\nu}\frac{\partial F^{\nu}{}_{\sigma}}{\partial x^{\mu}} + F_{\mu\nu}\frac{\partial F_{\sigma}{}^{\mu}}{\partial x^{\nu}} \] \[ = -\frac{1}{2} F_{\mu\nu}\frac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} -\frac{1}{2} F_{\mu\nu}\frac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} + \frac{\partial F_{\nu\sigma}}{\partial x^{\mu}} + \frac{\partial F_{\sigma\mu}}{\partial x^{\nu}}. \]

De uitdrukking tussen haakjes is precies vergelijking (60), die gelijk is aan nul. Dus: \[ F_{\mu\nu}\frac{\partial F_{\sigma}{}^{\mu}}{\partial x^{\nu}} = -\frac{1}{2} F_{\mu\nu}\frac{\partial F^{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}}. \] q.e.d.

7.6 Vraag over Einsteins vergelijking (69)

Vraag:
In vergelijking (69) uit Einsteins boek staat: \[ k = \frac{8\pi K}{c^{2}} = 1.87 \times 10^{-27} \quad (\mathrm{E69}) \] Waarom komt dit getal niet overeen met de waarde die we tegenwoordig gebruiken? En waarom staat er nog een \(c^{2}\) in de noemer als Einstein eerder heeft gesteld \(c = 1\) te nemen?

Antwoord:

Einstein werkte in dit boek met CGS‑eenheden (centimeter–gram–seconde), terwijl we tegenwoordig meestal SI‑eenheden (meter–kilogram–seconde) gebruiken. Dat veroorzaakt verschillen in de numerieke waarden van natuurconstanten zoals \(K\) (de gravitatieconstante), afhankelijk van het eenhedenstelsel.

Stap 1: Interpretatie van Einsteins notatie

In Einsteins vergelijking: \[ k = \frac{8\pi K}{c^{2}} \] is:

• \(K\) de gravitatieconstante in CGS‑eenheden: \[ K = 6.67 \times 10^{-8}\ \mathrm{cm^{3}\,g^{-1}\,s^{-2}}, \]
• \(c = 3.00 \times 10^{10}\ \mathrm{cm/s}. \)

Als we deze waarden invullen: \[ k = 8\pi \cdot 6.67\times 10^{-8} \cdot (3.00\times 10^{10})^{-2} \approx 1.87\times 10^{-27}. \]

Dat is precies de waarde die Einstein vermeldt. Zijn berekening klopt dus binnen het CGS‑stelsel.

Stap 2: Omschakeling naar moderne eenheden (SI)

In moderne literatuur gebruiken we voor de Einstein‑veldvergelijkingen: \[ k = \frac{8\pi G}{c^{4}} \approx 2.07 \times 10^{-43}, \] met:

• \(G = 6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}\),
• \(c = 3.00 \times 10^{8}\ \mathrm{m/s}\).

Ingevuld: \[ k = 8\pi \cdot 6.67\times 10^{-11} \cdot (3.00\times 10^{8})^{-4} \approx 2.07\times 10^{-43}\ \mathrm{m^{-1}\,kg^{-1}\,s^{2}}. \]

Stap 3: Waarom is er nog een \(c^{2}\) in Einsteins vergelijking?

Hoewel Einstein op andere plaatsen in het boek de conventie \(c = 1\) gebruikt (natural units), blijft hij hier \(c\) expliciet noteren. Dat is waarschijnlijk omdat hij op dit punt nog een numerieke schatting wilde geven die correspondeert met concrete fysische eenheden, en dus even afzag van de conventie \(c = 1\).

Conclusie

• Einsteins waarde van \(k \approx 1.87\times 10^{-27}\) is correct in CGS‑eenheden.
• In moderne SI‑eenheden is \(k \approx 2.07\times 10^{-43}\).
• De notatie met expliciete \(c^{2}\) duidt erop dat Einstein hier nog niet overgeschakeld was op natural units (waar \(c = 1\)), om een concrete waarde te berekenen.