Deel VI – Validatie van de Theorie
6 Controle of de Schwarzschild‑metriek voldoet aan de Einstein‑veldvergelijkingen
We gaan nu wiskundig verifiëren of de vergelijking van Schwarzschild voldoet aan de Einstein‑veldvergelijkingen. We doen dit eerst aan de volledige veldvergelijkingen en vervolgens aan de gesimplificeerde vorm.
6.1 Verificatie aan de Volledige Veldvergelijkingen
De algemene vorm van de Einstein‑veldvergelijkingen luidt: \[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R + \lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^{4}}\,T_{\mu\nu}. \]
Hierin beschrijft de linkerkant de geometrie van de ruimte‑tijd, terwijl de rechterkant de inhoud van massa en energie vertegenwoordigt. De constante \( \lambda \) is de kosmologische constante, die doorgaans verwaarloosbaar klein is bij berekeningen op astrofysische of planetaire schaal. Daarom wordt meestal gewerkt met de vereenvoudigde vergelijking: \[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8\pi G}{c^{4}}\,T_{\mu\nu}. \]
In vacuümgebieden – dus buiten een massa – geldt: \[ T_{\mu\nu} = 0, \] zodat de vergelijking reduceert tot: \[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = 0. \]
De indices \( \mu \) en \( \nu \) nemen elk vier waarden aan (0 tot 3), wat resulteert in 16 gekoppelde differentiaalvergelijkingen. De veldvergelijkingen zijn volledig afhankelijk van de metrische tensor \( g_{\mu\nu} \) en de eerste en tweede afgeleiden ervan. Dit komt doordat ze uitsluitend zijn opgebouwd uit de Christoffel‑symbolen en hun afgeleiden, en de Christoffel‑symbolen zelf zijn volledig bepaald door de metriek en haar eerste afgeleiden.
6.1.1 De Schwarzschild‑oplossing
Karl Schwarzschild vond een exacte oplossing van de veldvergelijkingen in vacuüm, uitgaande van sferische symmetrie. De metriek is: \[ ds^{2} = \sigma^{2} c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}}{\sigma^{2}} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2}\sin^{2}\theta\, d\varphi^{2}, \] waar: \[ \sigma^{2} = 1 - \frac{2GM}{c^{2}r}. \]
\[ \sigma = \sqrt{1 - \frac{2GM}{c^{2}r}}. \]
De algemene vorm van de metriek in coördinatennotatie is: \[ ds^{2} = g_{00}\,dt^{2} + g_{11}\,dr^{2} + g_{22}\,d\theta^{2} + g_{33}\,d\varphi^{2}. \]
Hieruit blijkt dat slechts vier van de zestien metrische componenten niet nul zijn. Daarom zijn er ook slechts vier relevante componenten van de Ricci‑tensor \(R_{\mu\nu}\), namelijk: \[ R_{00},\quad R_{11},\quad R_{22},\quad R_{33}. \]
6.1.2 De Ricci‑tensor en Christoffel‑symbolen
De Ricci‑tensor is gedefinieerd als: \[ R_{\mu\nu} = R^{\rho}{}_{\mu\rho\nu}. \]
Met de algemene uitdrukking: \[ R_{\mu\nu} = \partial_{\rho}\Gamma^{\rho}_{\mu\nu} - \partial_{\nu}\Gamma^{\rho}_{\mu\rho} + \Gamma^{\rho}_{\lambda\rho}\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} - \Gamma^{\rho}_{\lambda\nu}\Gamma^{\lambda}_{\mu\rho}. \]
Deze formule is samengesteld uit afgeleiden en producten van de Christoffel‑symbolen. De algemene vorm van een Christoffel‑symbool is: \[ \Gamma^{\rho}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\rho\alpha} \left( \frac{\partial g_{\nu\alpha}}{\partial x^{\mu}} + \frac{\partial g_{\mu\alpha}}{\partial x^{\nu}} - \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\alpha}} \right). \]
6.1.3 Vereenvoudiging in vacuüm
Zoals eerder aangegeven geldt in vacuüm: \[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = 0. \]
Hier staat \(R\) voor de Ricci‑scalar en vertegenwoordigt de totale kromming van de lokale ruimte‑tijd. De Ricci‑scalar wordt berekend als de contractie van de Ricci‑tensor: \[ R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}. \]
Dit betekent dat de Ricci-scalar een samenvatting is van hoe de ruimte‑tijd in alle richtingen kromt, gebaseerd op de informatie in de Ricci‑tensor. In het geval van de veldvergelijkingen van Einstein in vacuüm is: \[ R = 0, \] wat betekent dat de totale ruimte‑tijdkromming nul is buiten een massieve bron.
Wanneer de eerdere formule vermenigvuldigd wordt met \( g^{\mu\nu} \), dan krijgen we: \[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = 0, \] \[ g^{\mu\nu} R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g^{\mu\nu} g_{\mu\nu} R = 0. \]
Omdat: \[ g^{\mu\nu} g_{\mu\nu} = 4, \] volgt: \[ R - \frac{1}{2}(4)R = 0 \quad\Rightarrow\quad R - 2R = 0 \quad\Rightarrow\quad R = 0. \]
Dit kan alleen waar zijn als ook: \[ R_{\mu\nu} = 0. \]
Dus ten gevolge van de relatie tussen \(R\) en \(R_{\mu\nu}\) is het duidelijk dat: \[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} R = 0 \quad\Rightarrow\quad R_{\mu\nu} = 0. \]
6.1.4 Berekeningen en numerieke verificatie
Op basis van de algemene vorm van de Ricci‑tensor en de Christoffel‑symbolen hebben we zowel numeriek (met behulp van een computerprogramma) als theoretisch aangetoond dat de Schwarzschild‑metriek inderdaad voldoet aan de vacuümvergelijking: \[ R_{\mu\nu} = 0. \]
De relevante expressies voor de Ricci‑componenten in termen van Christoffel‑symbolen zijn:
\[ R_{00} = \Gamma^{0}_{00,1} + \Gamma^{0}_{01}\Gamma^{1}_{11} + \Gamma^{0}_{01}\Gamma^{2}_{22} + \Gamma^{0}_{01}\Gamma^{3}_{33} - \Gamma^{0}_{10}\Gamma^{0}_{01}, \] \[ R_{11} = -\Gamma^{1}_{01,01} - \Gamma^{1}_{12,12} - \Gamma^{1}_{13,13} + \Gamma^{1}_{11}\Gamma^{0}_{00} + \Gamma^{1}_{11}\Gamma^{2}_{22} + \Gamma^{1}_{11}\Gamma^{3}_{33} - \Gamma^{0}_{10}\Gamma^{0}_{10} - \Gamma^{2}_{22}\Gamma^{2}_{12} - \Gamma^{3}_{33}\Gamma^{3}_{13}, \] \[ R_{22} = \Gamma^{2}_{22,11} - \Gamma^{2}_{23,23} + \Gamma^{2}_{21}\Gamma^{0}_{00} + \Gamma^{2}_{21}\Gamma^{1}_{11} + \Gamma^{2}_{21}\Gamma^{3}_{33} - \Gamma^{2}_{12}\Gamma^{2}_{21} - \Gamma^{3}_{33}\Gamma^{3}_{23}, \] \[ R_{33} = \Gamma^{3}_{33,11} + \Gamma^{3}_{33,22} + \Gamma^{3}_{31}\Gamma^{0}_{00} + \Gamma^{3}_{31}\Gamma^{1}_{11} + \Gamma^{3}_{31}\Gamma^{2}_{22} - \Gamma^{3}_{13}\Gamma^{3}_{31} - \Gamma^{3}_{23}\Gamma^{3}_{32}. \]
Deze vergelijkingen zijn geëvalueerd door de Christoffel‑symbolen af te leiden uit de Schwarzschild‑metriek en in te vullen in bovenstaande expressies. Deze symbolen zijn samengevat in Tabel 1 (zie Appendix 1.2).
Let op: In de literatuur wordt de Christoffel‑formule soms gegeven met een minteken (−½) of een plusteken (+½) voor de leidende factor. In onze benadering is gewerkt met een positieve factor van \( \tfrac{1}{2} \). Deze conventie bleek consistent met het resultaat dat alle relevante Ricci‑componenten nul zijn: \[ R_{00} = R_{11} = R_{22} = R_{33} = 0, \] zoals vereist volgens de veldvergelijkingen van Einstein in vacuüm.
Daarom is de Christoffel‑formule in de volgende vorm toegepast: \[ \Gamma^{\mu}_{\nu\rho} = \frac{1}{2} g^{\mu\alpha} \left( \frac{\partial g_{\nu\alpha}}{\partial x^{\rho}} + \frac{\partial g_{\rho\alpha}}{\partial x^{\nu}} - \frac{\partial g_{\nu\rho}}{\partial x^{\alpha}} \right). \]
6.1.5 Conclusie
Door zowel analytische als numerieke evaluatie van de Ricci‑tensorcomponenten, op basis van de Schwarzschild‑metriek en bijbehorende Christoffel‑symbolen, is aangetoond dat deze oplossing inderdaad voldoet aan de Einstein‑veldvergelijkingen in vacuüm. Daarmee is de Schwarzschild‑oplossing een exacte en fysisch consistente beschrijving van de ruimte‑tijdstructuur buiten een sferisch symmetrische massa.
6.2 Controle van \(R_{00}, R_{11}, R_{22}\) en \(R_{33}\) in de Schwarzschild‑metriek
Bij het controleren van de Einstein‑veldvergelijkingen in vacuüm moeten de componenten van de Ricci‑tensor — met name \(R_{00}, R_{11}, R_{22}\) en \(R_{33}\) — worden geëvalueerd in het kader van de Schwarzschild‑oplossing. Dit gebeurt in sferische coördinaten \((t, r, \theta, \varphi)\).
De Schwarzschild‑metriek luidt: \[ ds^{2} = \sigma^{2} c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}}{\sigma^{2}} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2}\sin^{2}\theta\, d\varphi^{2}, \] met: \[ \sigma^{2} = 1 - \frac{R_{s}}{r}, \qquad R_{s} = \frac{2GM}{c^{2}}. \]
Om de componenten van de Ricci‑tensor te bepalen, doorlopen we de volgende stappen:
- Afleiden van de Christoffel‑symbolen uit de Schwarzschild‑metriek in sferische coördinaten;
- Substitutie van deze symbolen in de uitdrukkingen voor de Ricci‑tensorcomponenten;
- Controle dat alle relevante componenten \(R_{\mu\nu}\) gelijk zijn aan nul, conform de Einstein‑veldvergelijkingen in vacuüm.
De gebruikte Christoffel‑symbolen en hun afgeleiden zijn te vinden in Appendix 1.2. Hieronder volgen de afzonderlijke controles.
Controle van \(R_{00}\)
De component \(R_{00}\) wordt gegeven door: \[ R_{00} = \Gamma^{0}_{00,1} + \Gamma^{0}_{01}\Gamma^{1}_{11} + \Gamma^{0}_{01}\Gamma^{2}_{22} + \Gamma^{0}_{01}\Gamma^{3}_{33} - \Gamma^{0}_{10}\Gamma^{0}_{01}. \]
Na substitutie van de betreffende termen volgt: \[ R_{00} = \frac{R_{s}(3R_{s} - 2r)}{2r^{4}} + \sigma^{2}\frac{R_{s}^{2}}{r^{2}} - \frac{R_{s}^{2}}{r^{2}\sigma^{2}} + \sigma^{2}\frac{R_{s}^{2}}{r^{2}}\frac{1}{r} + \sigma^{2}\frac{R_{s}^{2}}{r^{2}}\frac{1}{r} - \frac{R_{s}^{2}}{r^{2}\sigma^{2}} \sigma^{2}\frac{R_{s}^{2}}{r^{2}}. \]
Dit reduceert tot: \[ R_{00} = \frac{R_{s}(3R_{s} - 2r)}{2r^{4}} - \frac{R_{s}^{2}}{2r^{4}} + \frac{2R_{s}(r - R_{s})}{2r^{4}} = \frac{3R_{s}^{2} - 2rR_{s} - R_{s}^{2} + 2R_{s}r - 2R_{s}^{2}}{2r^{4}} = 0. \]
Zoals vereist door de vacuümvergelijkingen: \[ R_{00} = 0. \]
Dus: \[ R_{00} = 0 \quad \text{q.e.d.} \]
Controle van \(R_{11}\)
De component \(R_{11}\) wordt berekend uit: \[ R_{11} = -\Gamma^{1}_{01,01} - \Gamma^{1}_{12,12} - \Gamma^{1}_{13,13} + \Gamma^{1}_{11}\Gamma^{0}_{00} + \Gamma^{1}_{11}\Gamma^{2}_{22} + \Gamma^{1}_{11}\Gamma^{3}_{33} - \Gamma^{0}_{10}\Gamma^{0}_{10} - \Gamma^{2}_{22}\Gamma^{2}_{12} - \Gamma^{3}_{33}\Gamma^{3}_{13}. \]
Na uitwerking: \[ R_{11} = -\frac{R_{s}(R_{s}-2r)}{2r^{4}\sigma^{4}} + \frac{1}{r^{2}} + \frac{1}{r^{2}} - \frac{R_{s}^{2}}{4r^{4}\sigma^{4}} - \frac{R_{s}^{2}}{r^{3}\sigma^{2}} - \frac{R_{s}^{2}}{r^{3}\sigma^{2}} - \frac{R_{s}^{2}}{4r^{4}\sigma^{4}} - \frac{1}{r^{2}} - \frac{1}{r^{2}}. \]
Verdere reductie geeft: \[ R_{11} = -\frac{R_{s}(R_{s}-2r)}{2r^{4}\sigma^{4}} - \frac{R_{s}^{2}}{2r^{4}\sigma^{4}} - \frac{2R_{s}r(1 - R_{s}/r)}{2r^{4}\sigma^{4}} \] \[ = -\frac{R_{s}^{2} - 2rR_{s}}{2r^{4}\sigma^{4}} - \frac{R_{s}^{2}}{2r^{4}\sigma^{4}} - \frac{2R_{s}r - 2R_{s}^{2}}{2r^{4}\sigma^{4}} \] \[ = \frac{-R_{s}^{2} + 2rR_{s} - R_{s}^{2} - 2R_{s}r + 2R_{s}^{2}}{2r^{4}\sigma^{4}} = 0. \]
Dus: \[ R_{11} = 0 \quad \text{q.e.d.} \]
Controle van \(R_{22}\)
Voor de component \(R_{22}\) geldt: \[ R_{22} = \Gamma^{2}_{22,11} - \Gamma^{2}_{23,23} + \Gamma^{2}_{21}\Gamma^{0}_{00} + \Gamma^{2}_{21}\Gamma^{1}_{11} + \Gamma^{2}_{21}\Gamma^{3}_{33} - \Gamma^{2}_{12}\Gamma^{2}_{21} - \Gamma^{3}_{33}\Gamma^{3}_{23}. \]
Invulling geeft: \[ R_{22} = -1 + 1 - r\sigma^{2}\frac{R_{s}^{2}}{r^{2}\sigma^{2}} + r\sigma^{2} + \frac{R_{s}^{2}}{r^{2}\sigma^{2}} - r\sigma^{2}\frac{1}{r} + r\sigma^{2}\frac{1}{r} - 0. \]
Dit reduceert tot: \[ R_{22} = 0. \]
Dus: \[ R_{22} = 0 \quad \text{q.e.d.} \]
Controle van \(R_{33}\)
De component \(R_{33}\) wordt als volgt berekend: \[ R_{33} = \Gamma^{3}_{33,11} + \Gamma^{3}_{33,22} + \Gamma^{3}_{31}\Gamma^{0}_{00} + \Gamma^{3}_{31}\Gamma^{1}_{11} + \Gamma^{3}_{31}\Gamma^{2}_{22} - \Gamma^{3}_{13}\Gamma^{3}_{31} - \Gamma^{3}_{23}\Gamma^{3}_{32}. \]
Uitwerking leidt tot: \[ R_{33} = -1 + 1 - r\sigma^{2}\frac{R_{s}^{2}}{r^{2}\sigma^{2}} + r\sigma^{2}\frac{R_{s}^{2}}{r^{2}\sigma^{2}} - r\sigma^{2}\frac{1}{r} + r\sigma^{2}\frac{1}{r} - 0. \]
Dus: \[ R_{33} = 0 \quad \text{q.e.d.} \]
Dus: \[ R_{33} = 0 \quad \text{q.e.d.} \]
Conclusie
Alle relevante componenten van de Ricci‑tensor zijn nul: \[ R_{\mu\nu} = 0 \qquad \text{voor } \mu,\nu \in \{0,1,2,3\}, \] wat bevestigt dat de Schwarzschild‑oplossing voldoet aan de Einstein‑veldvergelijkingen in vacuüm. Hiermee is aangetoond dat deze oplossing de ruimte‑tijd correct beschrijft buiten een sferisch symmetrische massa in afwezigheid van energie of materie. Dit vormt een fundamentele bevestiging van zowel de consistentie van de Schwarzschild‑oplossing als de juistheid van de algemene relativiteitstheorie in dit specifieke geval.
6.3 Controle van de Ricci‑tensorcomponenten \(R_{00}, R_{11}, R_{22}, R_{33}\) in Schwarzschild‑coördinaten
We controleren expliciet de componenten van de Ricci‑tensor voor de Schwarzschild‑oplossing in een aangepast coördinatenstelsel \((t_{\infty}, x_{1}, x_{2}, x_{3})\), waarbij de metriek de vorm heeft: \[ ds^{2} = \sigma^{2} c^{2} dt_{\infty}^{2} - \frac{dx_{1}^{2}}{r^{4}\sigma^{2}} - r^{2}\frac{dx_{2}^{2}}{\sin^{2}\theta} - r^{2}\sin^{2}\theta\, dx_{3}^{2}, \] waarbij: \[ \sigma^{2} = 1 - \frac{R_{s}}{r}, \qquad R_{s} = \frac{2GM}{c^{2}}. \]
De benodigde Christoffel‑symbolen en hun afgeleiden zijn gegeven in Appendix 1.3. Hieronder verifiëren we dat alle componenten van de Ricci‑tensor nul zijn, zoals vereist voor een vacuümoplossing \((R_{\mu\nu} = 0)\).
Component \(R_{00}\)
\[ R_{00} = \Gamma^{0}_{00,11} + \Gamma^{0}_{01}\Gamma^{1}_{11} + \Gamma^{0}_{01}\Gamma^{2}_{22} + \Gamma^{0}_{01}\Gamma^{3}_{33} - \Gamma^{0}_{10}\Gamma^{0}_{01}. \]
Ingevuld met de uitdrukkingen voor de Christoffel‑symbolen: \[ R_{00} = \frac{R_{s}^{2}}{2r^{4}} + \frac{R_{s}\sigma^{2}(3R_{s} - 4r)}{2r^{4}\sigma^{2}} + \frac{R_{s}\sigma^{2}}{r^{3}} + \frac{R_{s}\sigma^{2}}{r^{3}} - \frac{R_{s}^{2}}{r^{4}\sigma^{2}} \sigma^{2}. \]
Verdere reductie geeft: \[ R_{00} = \frac{2R_{s}^{2}}{4r^{4}} + \frac{3R_{s}^{2} - 4rR_{s}}{4r^{4}} + \frac{4R_{s}r\sigma^{2}}{4r^{4}} - \frac{R_{s}^{2}}{4r^{4}} \] \[ = \frac{2R_{s}^{2} + 3R_{s}^{2} - 4rR_{s} - R_{s}^{2} + 4R_{s}(r - R_{s})}{4r^{4}} \] \[ = \frac{4R_{s}^{2} - 4rR_{s} + 4R_{s}r - 4R_{s}^{2}}{4r^{4}} = 0. \]
Resultaat: \[ R_{00} = 0. \]
Dus: \[ R_{00} = 0 \quad \text{q.e.d.} \]
Component \(R_{11}\)
\[ R_{11} = -\Gamma^{1}_{01,01} - \Gamma^{1}_{12,12} - \Gamma^{1}_{13,13} + \Gamma^{1}_{11}\Gamma^{0}_{00} + \Gamma^{1}_{11}\Gamma^{2}_{22} + \Gamma^{1}_{11}\Gamma^{3}_{33} - \Gamma^{0}_{10}\Gamma^{0}_{10} - \Gamma^{2}_{22}\Gamma^{2}_{12} - \Gamma^{3}_{33}\Gamma^{3}_{13}. \]
Invulling geeft: \[ R_{11} = -\frac{R_{s}(3R_{s}-4r)}{2r^{8}\sigma^{4}} - \frac{3}{r^{6}} - \frac{3}{r^{6}} + \frac{(3R_{s}-4r)}{2r^{4}\sigma^{2}}\frac{R_{s}^{2}}{r^{4}\sigma^{2}} + \frac{(3R_{s}-4r)}{2r^{4}\sigma^{2}}\frac{1}{r^{3}} + \frac{(3R_{s}-4r)}{2r^{4}\sigma^{2}}\frac{1}{r^{3}} - \frac{R_{s}^{2}}{r^{4}\sigma^{2}}\frac{R_{s}^{2}}{r^{4}\sigma^{2}} - \frac{1}{r^{3}}\frac{1}{r^{3}} - \frac{1}{r^{3}}\frac{1}{r^{3}}. \]
Na vereenvoudiging: \[ R_{11} = -\frac{2R_{s}(3R_{s}-4r)}{4r^{8}\sigma^{4}} + \frac{4}{r^{6}} + \frac{R_{s}(3R_{s}-4r)}{4r^{8}\sigma^{4}} + \frac{4(3R_{s}-4r)r(1 - R_{s}/r)}{4r^{8}\sigma^{4}} - \frac{R_{s}^{2}}{4r^{8}\sigma^{4}}. \]
Verdere reductie: \[ R_{11} = \frac{-6R_{s}^{2} + 8rR_{s} + 3R_{s}^{2} - 4rR_{s} + 12R_{s}r - 16r^{2} - 12R_{s}^{2} + 16rR_{s} - R_{s}^{2}}{4r^{8}\sigma^{4}} + \frac{4}{r^{6}}. \]
\[ R_{11} = \frac{-16R_{s}^{2} + 32rR_{s} - 16r^{2}}{4r^{8}\sigma^{4}} + \frac{4}{r^{6}} = \frac{-16R_{s}^{2} + 32rR_{s} - 16r^{2} + 16r^{2}(1 - R_{s}/r)^{2}}{4r^{8}\sigma^{4}} = 0. \]
Resultaat: \[ R_{11} = 0 \quad \text{q.e.d.} \]
Component \(R_{22}\)
\[ R_{22} = \Gamma^{2}_{22,11} - \Gamma^{2}_{23,23} + \Gamma^{2}_{21}\Gamma^{0}_{00} + \Gamma^{2}_{21}\Gamma^{1}_{11} + \Gamma^{2}_{21}\Gamma^{3}_{33} - \Gamma^{2}_{12}\Gamma^{2}_{21} - \Gamma^{3}_{33}\Gamma^{3}_{23}. \]
Invulling en vereenvoudiging geeft: \[ R_{22} = -3 + \frac{2R_{s}}{r} + 1 - \frac{r^{3}}{\sigma^{2}}\frac{R_{s}^{2}}{r^{4}\sigma^{2}} - \frac{r^{3}}{\sigma^{2}}\frac{3R_{s}-4r}{2r^{4}\sigma^{2}} - \frac{r^{3}}{\sigma^{2}}\frac{1}{r^{3}} + \frac{r^{3}}{\sigma^{2}}\frac{1}{r^{3}} - 0. \]
\[ R_{22} = -3 + \frac{2R_{s}}{r} + 1 - \frac{R_{s}^{2}}{r} - \frac{3R_{s}-4r}{2r} = 0. \]
Resultaat: \[ R_{22} = 0 \quad \text{q.e.d.} \]
Dus: \[ R_{22} = 0 \quad \text{q.e.d.} \]
Component \(R_{33}\)
\[ R_{33} = \Gamma^{3}_{33,11} + \Gamma^{3}_{33,22} + \Gamma^{3}_{31}\Gamma^{0}_{00} + \Gamma^{3}_{31}\Gamma^{1}_{11} + \Gamma^{3}_{31}\Gamma^{2}_{22} - \Gamma^{3}_{13}\Gamma^{3}_{31} - \Gamma^{3}_{23}\Gamma^{3}_{32}. \]
Invulling geeft: \[ R_{33} = -3 + \frac{2R_{s}}{r} + 1 - \frac{r^{3}}{\sigma^{2}} \frac{R_{s}^{2}}{r^{4}\sigma^{2}} - \frac{r^{3}}{\sigma^{2}} \frac{3R_{s}-4r}{2r^{4}\sigma^{2}} - \frac{r^{3}}{\sigma^{2}} \frac{1}{r^{3}} + \frac{r^{3}}{\sigma^{2}} \frac{1}{r^{3}} - 0. \]
Vereenvoudiging leidt tot: \[ R_{33} = -3 + \frac{2R_{s}}{r} + 1 - \frac{R_{s}^{2}}{r} - \frac{3R_{s}-4r}{2r} = 0. \]
Resultaat: \[ R_{33} = 0 \quad \text{q.e.d.} \]
Conclusie
De vier onafhankelijke componenten van de Ricci‑tensor zijn allen nul in Schwarzschild‑coördinaten, conform de verwachting voor de vacuümoplossing van de Einstein‑veldvergelijkingen: \[ R_{00} = R_{11} = R_{22} = R_{33} = 0. \]
Dit bevestigt dat de Schwarzschild‑metriek inderdaad een oplossing is van \[ R_{\mu\nu} = 0 \] buiten de centrale massa. Hiermee is aangetoond dat de Schwarzschild‑metriek een correcte en fysisch consistente beschrijving vormt van de ruimte‑tijd in vacuüm rond een sferisch symmetrisch object.
6.4 Controle van de Schwarzschild‑oplossing met behulp van een gesimplificeerde vorm van de veldvergelijkingen
In dit hoofdstuk controleren we de Schwarzschild‑oplossing aan de hand van een vereenvoudigde versie van de Einstein‑veldvergelijkingen. Deze gelimiteerde vorm is afkomstig uit Schwarzschilds oorspronkelijke afleiding en geldt uitsluitend wanneer het spoor (“trace”) van de metrische tensor voldoet aan: \[ \mathrm{tr}(g_{\mu\nu}) = -1. \]
De veldvergelijkingen nemen in deze benadering de vorm aan: \[ G_{\mu\nu} = \frac{\partial \Gamma^{\alpha}_{\mu\nu}}{\partial x^{\alpha}} + \Gamma^{\alpha}_{\mu\beta}\,\Gamma^{\beta}_{\nu\alpha}. \]
In deze uitdrukking worden de Christoffel‑symbolen gedefinieerd met een negatief teken, zoals Schwarzschild dat deed: \[ \Gamma^{\rho}_{\mu\nu} = -\frac{1}{2} g^{\rho\alpha} \left( \frac{\partial g_{\nu\alpha}}{\partial x^{\mu}} + \frac{\partial g_{\mu\alpha}}{\partial x^{\nu}} - \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\alpha}} \right). \]
Door deze negatieve conventie zullen alle afgeleide uitdrukkingen, waaronder de afleidingen van de Ricci‑tensor, van teken verschillen ten opzichte van de standaarddefinitie.
Schwarzschild gebruikte in zijn afleiding de coördinaten \((t, x, y, z)\). We beginnen dan ook met deze coördinaten en geven de relevante componenten van de Ricci‑tensor weer, zoals ze volgen uit de gelimiteerde formule.
Afgeleide componenten van de Ricci‑tensor
De volgende expressies gelden in Schwarzschilds notatie:
1.11. Voor de \(R_{00}\)-component:
\[ R_{00} = \Gamma^{0}_{00,11} + \Gamma^{0}_{10}\Gamma^{0}_{01} + \Gamma^{0}_{01}\Gamma^{1}_{00}. \]
1.12. Voor de \(R_{11}\)-component:
\[ R_{11} = \Gamma^{1}_{11,11} + \Gamma^{1}_{00}\Gamma^{0}_{10} + \Gamma^{1}_{11}\Gamma^{1}_{11} + \Gamma^{1}_{22}\Gamma^{2}_{12} + \Gamma^{1}_{33}\Gamma^{3}_{13}. \]
Voor de \(R_{22}\)-component:
\[ R_{22} = \Gamma^{2}_{22,11} + \Gamma^{2}_{22,22} + \Gamma^{2}_{21}\Gamma^{1}_{22} + \Gamma^{2}_{12}\Gamma^{2}_{21} + \Gamma^{2}_{22}\Gamma^{2}_{22} + \Gamma^{2}_{33}\Gamma^{3}_{23}. \]
1.13. Voor de \(R_{33}\)-component:
\[ R_{33} = \Gamma^{3}_{33,11} + \Gamma^{3}_{33,22} + \Gamma^{3}_{31}\Gamma^{1}_{33} + \Gamma^{3}_{32}\Gamma^{2}_{33} + \Gamma^{3}_{13}\Gamma^{3}_{31} + \Gamma^{3}_{23}\Gamma^{3}_{32}. \]
Deze componenten kunnen eenvoudig worden ingevuld zodra de juiste Christoffel‑symbolen zijn berekend uit de Schwarzschild‑metriek. In de volgende sectie evalueren we deze componenten expliciet.
6.5 t, x, y, z (aangepaste polaire) coördinaten
We werken in aangepaste cartesisch‑polaire coördinaten \((t, x, y, z)\), waarin Schwarzschild zijn oplossing oorspronkelijk formuleerde. We controleren expliciet dat de componenten van de Ricci‑tensor \(R_{\mu\nu}\) nul zijn.
Berekening van \(R_{00}\)
\[ R_{00} = \Gamma^{0}_{00,11} + \Gamma^{0}_{10}\Gamma^{0}_{01} + \Gamma^{0}_{01}\Gamma^{1}_{00}. \]
Met de gegeven waarden: \[ R_{00} = -\frac{R_{s}^{2}}{2r^{4}} + \frac{R_{s}^{2}}{r^{4}\sigma^{2}}\frac{R_{s}}{\sigma^{2}} + \frac{R_{s}}{\sigma^{2}}\frac{R_{s}^{2}}{r^{4}\sigma^{2}} = -\frac{R_{s}^{2}}{2r^{4}} + \frac{R_{s}^{2}}{2r^{4}} = 0. \]
Resultaat: \[ R_{00} = 0 \quad \text{q.e.d.} \]
Berekening van \(R_{11}\)
\[ R_{11} = \Gamma^{1}_{11,11} + \Gamma^{1}_{00}\Gamma^{0}_{10} + \Gamma^{1}_{11}\Gamma^{1}_{11} + \Gamma^{1}_{22}\Gamma^{2}_{12} + \Gamma^{1}_{33}\Gamma^{3}_{13}. \]
Door alle termen zorgvuldig te substitueren en te vereenvoudigen, vinden we: \[ R_{11} = -\frac{6r^{6}}{\sigma^{4}} + \frac{10R_{s}r^{7}}{\sigma^{4}} - \frac{4.5R_{s}^{2}r^{8}}{\sigma^{4}} + \frac{R_{s}^{2}}{4r^{8}\sigma^{4}} + \frac{(3R_{s}-4r)^{2}}{4r^{8}\sigma^{4}} + \frac{1}{r^{3}}\frac{1}{r^{3}} + \frac{1}{r^{3}}\frac{1}{r^{3}}. \]
Na verdere reductie: \[ R_{11} = \frac{-24r^{2} + 40rR_{s} - 18R_{s}^{2}}{4r^{8}\sigma^{4}} + \frac{R_{s}^{2}}{4r^{8}\sigma^{4}} + \frac{9R_{s}^{2} + 16r^{2} - 24rR_{s}}{4r^{8}\sigma^{4}} + \frac{2r^{6}}{4r^{8}\sigma^{4}}. \]
\[ R_{11} = \frac{-8R_{s}^{2} - 8r^{2} + 16rR_{s}}{4r^{8}\sigma^{4}} + \frac{2r^{6}}{4r^{8}\sigma^{4}} \] \[ = \frac{-8R_{s}^{2} - 8r^{2} + 16rR_{s} + 8r^{2}\sigma^{4}}{4r^{8}\sigma^{4}} \] \[ = \frac{-8R_{s}^{2} - 8r^{2} + 16rR_{s} + 8r^{2}(1 - R_{s}/r)^{2}}{4r^{8}\sigma^{4}} = 0. \]
Resultaat: \[ R_{11} = 0 \quad \text{q.e.d.} \]
Berekening van \(R_{22}\)
\[ R_{22} = \Gamma^{2}_{22,11} + \Gamma^{2}_{22,22} + \Gamma^{2}_{21}\Gamma^{1}_{22} + \Gamma^{2}_{12}\Gamma^{2}_{21} + \Gamma^{2}_{22}\Gamma^{2}_{22} + \Gamma^{2}_{33}\Gamma^{3}_{23}. \]
Na vereenvoudiging van de trigonometrische en radiale termen: \[ R_{22} = \frac{-2R_{s} + 3r}{r\sin^{2}\theta} + \frac{-1 - \cos^{2}\theta}{\sin^{4}\theta} + \frac{-r^{3}\sigma^{2}\sin^{2}\theta}{r^{3}} + \frac{1}{r^{3}} - \frac{r^{3}\sigma^{2}\sin^{2}\theta}{r^{3}} + \frac{-\cos\theta}{\sin^{2}\theta} \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta} \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}. \]
Dit reduceert tot: \[ R_{22} = \frac{-2R_{s} + 3r}{r\sin^{2}\theta} + \frac{-1 - \cos^{2}\theta}{\sin^{4}\theta} - \frac{2(r - R_{s})}{r\sin^{2}\theta} + \frac{2\cos^{2}\theta}{\sin^{4}\theta}. \]
\[ R_{22} = \frac{1}{\sin^{2}\theta} + \frac{-1 - \cos^{2}\theta}{\sin^{4}\theta} + \frac{2\cos^{2}\theta}{\sin^{4}\theta} = \frac{\sin^{2}\theta}{\sin^{4}\theta} + \frac{-\sin^{2}\theta - \cos^{2}\theta + 2\cos^{2}\theta}{\sin^{4}\theta} = 0. \]
Resultaat: \[ R_{22} = 0 \quad \text{q.e.d.} \]
Berekening van \(R_{33}\)
\[ R_{33} = \Gamma^{3}_{33,11} + \Gamma^{3}_{33,22} + \Gamma^{3}_{31}\Gamma^{1}_{33} + \Gamma^{3}_{32}\Gamma^{2}_{33} + \Gamma^{3}_{13}\Gamma^{3}_{31} + \Gamma^{3}_{23}\Gamma^{3}_{32}. \]
Na het combineren van termen met de hoekafhankelijke factoren: \[ R_{33} = \left(3 - \frac{2R_{s}}{r}\right)\sin^{2}\theta + 3\cos^{2}\theta - 1 - \frac{r^{3}\sigma^{2}\sin^{2}\theta}{r^{3}} + (-\sin^{2}\theta\cos\theta)\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta} - \frac{1}{r^{3}}\frac{r^{3}\sigma^{2}\sin^{2}\theta}{\sin^{2}\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}(-\sin^{2}\theta\cos\theta). \]
Vereenvoudigd: \[ R_{33} = \left(3 - \frac{2R_{s}}{r}\right)\sin^{2}\theta + 3\cos^{2}\theta - 1 - 2\sigma^{2}\sin^{2}\theta - 2\sin^{2}\theta\cos^{2}\theta. \]
Met \(\sigma^{2} = 1 - \frac{R_{s}}{r}\) wordt: \[ R_{33} = \left(3 - \frac{2R_{s}}{r}\right)\sin^{2}\theta + 3\cos^{2}\theta - 1 - 2\left(1 - \frac{R_{s}}{r}\right)\sin^{2}\theta - 2\cos^{2}\theta. \]
\[ R_{33} = \sin^{2}\theta + 3\cos^{2}\theta - 1 - 2\cos^{2}\theta = \sin^{2}\theta + 3\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta - \cos^{2}\theta - 2\cos^{2}\theta = 0. \]
Resultaat: \[ R_{33} = 0 \quad \text{q.e.d.} \]
Conclusie
We hebben aangetoond dat de componenten \(R_{00}, R_{11}, R_{22}\) en \(R_{33}\) van de Ricci‑tensor allen nul zijn binnen de Schwarzschild‑geometrie, wanneer we gebruikmaken van de gesimplificeerde veldvergelijking met \(\mathrm{tr}(g_{\mu\nu}) = -1\). Dit bevestigt dat de Schwarzschild‑oplossing inderdaad een vacuümoplossing is van de Einstein‑veldvergelijkingen, zelfs onder deze specifieke afleidingsmethode.
6.6 Controle van de Ricci‑componenten in sferische coördinaten
We controleren of de Schwarzschild‑oplossing in sferische coördinaten voldoet aan de beperkte Einstein‑veldvergelijkingen, waarin geldt dat de determinant van de metriek \(g = -1\).
De Schwarzschild‑metriek in sferische coördinaten is: \[ ds^{2} = \sigma^{2} c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}}{\sigma^{2}} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2}\sin^{2}\theta\, d\varphi^{2}, \qquad \sigma^{2} = 1 - \frac{R_{s}}{r}. \]
We evalueren hieronder de componenten van de Ricci‑tensor \(R_{\mu\nu}\) afzonderlijk.
Component \(R_{00}\)
\[ R_{00} = \Gamma^{0}_{00,11} + \Gamma^{0}_{10}\Gamma^{0}_{01} + \Gamma^{0}_{01}\Gamma^{1}_{00}. \]
Na substitutie en vereenvoudiging: \[ R_{00} = -\frac{R_{s}(3R_{s} - 2r)}{2r^{4}} + \frac{R_{s}^{2}}{r^{2}\sigma^{2}} \frac{\sigma^{2}R_{s}^{2}}{r^{2}} + \frac{\sigma^{2}R_{s}^{2}}{r^{2}} \frac{R_{s}^{2}}{r^{2}\sigma^{2}} \] \[ = -\frac{R_{s}(3R_{s} - 2r)}{2r^{4}} + \frac{R_{s}^{2}}{2r^{4}} \] \[ = -\frac{R_{s}(2R_{s} - 2r)}{2r^{4}} = -\frac{R_{s}(R_{s} - r)}{r^{4}}. \]
Conclusie: \[ R_{00} \neq 0. \]
Component \(R_{11}\)
\[ R_{11} = \Gamma^{1}_{11,11} + \Gamma^{1}_{00}\Gamma^{0}_{10} + \Gamma^{1}_{11}\Gamma^{1}_{11} + \Gamma^{1}_{22}\Gamma^{2}_{12} + \Gamma^{1}_{33}\Gamma^{3}_{13}. \]
Uitwerking leidt tot: \[ R_{11} = -\frac{R_{s}}{2r} - \frac{R_{s}}{2r^{4}\sigma^{4}} + \frac{R_{s}^{2}}{2r^{4}\sigma^{4}} + 2r^{2} \] \[ = -\frac{2rR_{s}}{2r^{4}\sigma^{4}} + \frac{R_{s}^{2}}{2r^{4}\sigma^{4}} + 2r^{2}. \]
Verdere vereenvoudiging: \[ R_{11} = \frac{3R_{s}^{2} + 2r^{2} - 5rR_{s}}{r^{4}\sigma^{4}} \neq 0. \]
Conclusie: \[ R_{11} \neq 0. \]
Component \(R_{22}\)
\[ R_{22} = \Gamma^{2}_{22,11} + \Gamma^{2}_{22,22} + \Gamma^{2}_{21}\Gamma^{1}_{22} + \Gamma^{2}_{12}\Gamma^{2}_{21} + \Gamma^{2}_{22}\Gamma^{2}_{22} + \Gamma^{2}_{33}\Gamma^{3}_{23}. \]
Evaluatie van deze termen geeft: \[ R_{22} = 1 - 2\sigma^{2} + \frac{\cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta} = \frac{1}{\sin^{2}\theta} - 2\sigma^{2}. \]
Conclusie: \[ R_{22} \neq 0. \]
Component \(R_{33}\)
\[ R_{33} = \Gamma^{3}_{33,11} + \Gamma^{3}_{33,22} + \Gamma^{3}_{31}\Gamma^{1}_{33} + \Gamma^{3}_{32}\Gamma^{2}_{33} + \Gamma^{3}_{13}\Gamma^{3}_{31} + \Gamma^{3}_{23}\Gamma^{3}_{32}. \]
Uitwerking geeft: \[ R_{33} = 1 + \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta - 2\sigma^{2}\sin^{2}\theta - 2\cos^{2}\theta. \]
\[ R_{33} = 1 - \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta - 2\sigma^{2}\sin^{2}\theta = -2\sigma^{2}\sin^{2}\theta. \]
Conclusie: \[ R_{33} \neq 0. \]
\[ R_{33} = -2\,\sigma^{2}\sin^{2}\theta \]
Conclusie: \[ R_{33} \neq 0. \]
Algemene Conclusie
We zien dat alle componenten \(R_{\mu\nu} \neq 0\) zijn bij gebruik van de beperkte Einstein‑veldvergelijkingen. Dus: de Schwarzschild‑formule in sferische/polaire coördinaten voldoet niet aan deze beperkte formule.
Dit is niet verrassend, aangezien de determinant van \(g\) voor de sferische coördinaten niet gelijk is aan \(-1\), wat een vereiste is om de beperkte formule te gebruiken. Voor de Schwarzschild‑metriek in sferische coördinaten geldt: \[ g = -\sigma^{2} \cdot \frac{1}{\sigma^{2}} \cdot r^{2} \cdot r^{2}\sin^{2}\theta = -r^{4}\sin^{2}\theta \neq -1. \]
Echter, voor wat betreft de volledige Einstein‑veldvergelijkingen is de sferische/polaire Schwarzschild‑metriek volledig in overeenstemming, zoals hierboven werd aangetoond.
Opmerking
De beperkte formule was het resultaat van een extra voorwaarde die Einstein toevoegde, namelijk dat het product van de elementen van het spoor van de metrische tensor gelijk moet zijn aan: \[ g = g_{00} g_{11} g_{22} g_{33} = -1. \] Deze extra voorwaarde werd ingevoerd om de berekeningen eenvoudiger te maken en de algemene formule te vereenvoudigen. Echter, de beperkte formule is een beperking die een aantal mogelijke oplossingen uitsluit.
Daarom is het toepassen van de algemene Einstein‑veldvergelijkingen de beste benadering. Dit wordt ondersteund door het feit dat de praktische Schwarzschild‑metriek: \[ ds^{2} = \sigma^{2} c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}}{\sigma^{2}} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2}\sin^{2}\theta\, d\varphi^{2}, \] een determinant heeft die ongelijk is aan \(-1\), en dus niet voldoet aan de beperkte Einstein‑formule, maar wél aan de algemene formule.
Met deze metriek kunnen allerlei praktische problemen in de algemene relativiteitstheorie worden opgelost, zoals:
- de buiging van licht,
- de perihelium‑verschuiving van Mercurius,
- de Shapiro‑tijdvertraging,
- de dynamica rond zwarte gaten.
Ook is inmiddels door diverse metingen aangetoond dat de berekeningen overeenstemmen met de waarnemingen.
Kortom: de oplossing van Schwarzschild toont aan dat de algemene formule van de algemene relativiteitstheorie: \[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}R\,g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^{4}}\,T_{\mu\nu}, \] de voorkeur heeft boven de beperkte formule.
De algemene Einstein‑veldvergelijkingen vormen de juiste basis van de relativistische zwaartekrachtstheorie. De beperkte formule is slechts een specialisatie onder restrictieve voorwaarden.