Appendix 7 — Afleiding van de Laplace- en Poisson-vergelijkingen

Een vectorveld waarbij het pad tussen twee punten niet uitmaakt voor de benodigde arbeid, wordt een conservatief veld genoemd. In zo’n veld kost elke route van punt A naar punt B dezelfde hoeveelheid energie.

Dit impliceert dat er een scalaire potentiaal \(\phi\) bestaat waarvoor geldt:

\[ \vec{F} = \vec{\nabla} \phi \tag{1} \]

De nabla‑operator wordt gedefinieerd als:

\[ \vec{\nabla} = \frac{\partial}{\partial x}\,\hat{e}_x + \frac{\partial}{\partial y}\,\hat{e}_y + \frac{\partial}{\partial z}\,\hat{e}_z = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \tag{2} \]

Het zwaartekrachtsveld \(\vec{F}_g\) is een voorbeeld van een conservatief veld:

\[ \vec{F}_g = \vec{\nabla} \phi \tag{3} \]

Volgens de stelling van Gauss geldt voor elk gesloten oppervlak:

\[ \oint_{\partial A} \vec{F}_g \cdot d\vec{A} = \iiint_V (\vec{\nabla} \cdot \vec{F}_g)\, dV \tag{4} \]

Vacuum: geen massa, geen bron

In vacuüm bevindt zich geen massa, dus is er geen bron van zwaartekracht:

\[ \vec{\nabla} \cdot \vec{F}_g = 0 \tag{5} \]

Substitueer (3) in (5):

\[ \vec{\nabla} \cdot \vec{F}_g = 0 \quad\Rightarrow\quad \vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} \phi) = 0 \tag{6} \]

Expliciet:

\[ \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \phi = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}, \frac{\partial \phi}{\partial y}, \frac{\partial \phi}{\partial z} \right) = 0 \tag{7} \]

Omdat \(x,y,z\) orthogonaal zijn:

\[ \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = 0 \]

Dit wordt geschreven als:

\[ \nabla^2 \phi = 0 \quad\text{of}\quad \Delta \phi = 0 \tag{8} \]

De operator \(\nabla^2\), de Laplaciaan, is:

\[ \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \]

In vacuüm geldt dus de Laplace‑vergelijking:

\[ \nabla^2 \phi = 0. \]

In een volume met massa

Binnen een massa is er wél een bron van zwaartekracht. Volgens de gravitatiewet van Newton geldt voor het zwaartekrachtsveld:

Toepassing van de stelling van Gauss op het zwaartekrachtsveld

Het zwaartekrachtsveld van een puntmassa is:

\[ \vec{F}_g = \frac{Gm}{r^{2}}\,\hat{r} \tag{9} \]

waar \(\hat{r}\) de eenheidsvector in radiale richting is.

Pas opnieuw de stelling van Gauss toe:

\[ \iiint_V (\vec{\nabla}\cdot\vec{F}_g)\, dV = \oint_{\partial A} \vec{F}_g\cdot d\vec{A} \tag{10} \]

Omdat \(\vec{F}_g = \vec{\nabla}\phi\), volgt:

\[ \iiint_V \Delta\phi\, dV = \oint_{\partial A} \frac{Gm}{r^{2}}\,\hat{r}\cdot d\vec{A} \]

Voor een boloppervlak geldt:

\[ A = 4\pi r^{2} \tag{11} \] \[ V = \frac{4\pi}{3} r^{3} \tag{12} \]

Omdat \(r\) constant is over het boloppervlak:

\[ \oint_{\partial A} \frac{Gm}{r^{2}}\, dA = \frac{Gm}{r^{2}} \cdot 4\pi r^{2} = 4\pi G m \tag{13} \]

Met de massadichtheid:

\[ \rho = \frac{m}{V} \tag{14} \]

wordt vergelijking (13):

\[ \iiint_V \Delta\phi\, dV = 4\pi G m = \iiint_V 4\pi G \rho\, dV \]

Omdat het volume willekeurig is:

\[ \Delta\phi = 4\pi G \rho \tag{15} \]

Dit is de Poisson‑vergelijking, geldig in gebieden waar massa aanwezig is.

Samenvatting

• In een gebied met massadichtheid \(\rho\):
  \[ \Delta\phi = 4\pi G \rho \tag{16} \] of: \[ \nabla^{2}\phi = 4\pi G \rho \quad\text{(Poisson‑vergelijking)} \]
• In lege ruimte (vacuum):
  \[ \Delta\phi = 0 \tag{17} \] of: \[ \nabla^{2}\phi = 0 \quad\text{(Laplace‑vergelijking)} \]

Overweging

Het bestaan van massa veroorzaakt zwaartekrachtsflux. Wanneer je binnen een massabol bent en naar buiten beweegt, verandert de hoeveelheid ingesloten massa en dus verandert ook de totale flux:

\[ \nabla^{2}\phi = 4\pi G \rho. \]

Wanneer je buiten de massabol bent, blijft de ingesloten massa constant en blijft de totale flux eveneens constant:

\[ \nabla^{2}\phi = 0. \]

Appendix 7.1 — Toepassing van de Laplace-operator op het Zwaartekrachtspotentiaal

In dit hoofdstuk passen we de Laplace-operator toe op het zwaartekrachtspotentiaal, zowel buiten als binnen een statische bol. De relevante formules voor de Newtoniaanse potentiaal zijn afgeleid in:

• Appendix 7.1.1 — Buiten een bol
• Appendix 7.1.2 — Binnen een bol

Newtoniaanse zwaartekracht

De zwaartekracht volgens Newton:

\[ F = mg = \frac{GmM}{r^{2}} \]

Zwaartekrachtsveld:

\[ g = \frac{GM}{r^{2}} \]

Zwaartekrachtspotentiaal:

\[ \phi_{\text{newton}} = -\frac{GM}{r}, \qquad \text{waarbij}\qquad g = \frac{d\phi_{\text{newton}}}{dr} \]

Hier is \(r\) de afstand tot het centrum van de bol, \(R\) de straal van de bol, \(M\) de massa van de bol en \(m\) de massa van een testdeeltje.

Zwaartekrachtspotentiaal in de algemene relativiteit

Buiten een bol (zie hoofdstuk 2.8, vergelijking 5):

\[ \phi = g_{00} = 1 - \frac{2GM}{c^{2}r} = 1 + \frac{2\phi_{\text{newton}}}{c^{2}} \]

Dus:

\[ \phi_{\text{newton, buiten}} = -\frac{GM}{r} \tag{1} \]

Binnen een bol (zie Appendix 7.1.4, vergelijking 3):

\[ \phi = 1 - \frac{3GM}{c^{2}R} + \frac{GM}{c^{2}}\frac{r^{2}}{R^{3}}= 1+\frac{2}{c^2} \cdot \left(-\frac{3GM}{2R} + \frac{GM}{2}\frac{r^{2}}{R^{3}}\right) \]

Newtoniaanse limiet:

\[ \phi_{\text{newton, binnen}} = -\frac{3GM}{2R} + \frac{GM}{2}\frac{r^{2}}{R^{3}} \tag{2} \]

Voorbereiding: relatie tussen \(r\) en cartesische coördinaten

\[ r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} \]

Neem de afgeleide naar \(x\):

\[ \frac{\partial r}{\partial x} \quad\Rightarrow\quad 2r\,\frac{\partial r}{\partial x} = 2x \]

Dus:

\[ \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r} \]

Appendix 7.1.1 — Buiten een Bol (Laplace)

De zwaartekrachtspotentiaal buiten een bol is:

\[ \phi_{\text{newton, buiten}} = -\frac{GM}{r} \]

We passen nu de Laplace‑operator toe:

\[ \nabla^{2}\phi = \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}\phi}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}} \]

Omdat \(r = \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\), gebruiken we:

\[ \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}, \qquad \frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r}, \qquad \frac{\partial r}{\partial z} = \frac{z}{r} \]

en:

\[ \frac{\partial \phi}{\partial r} = \frac{d}{dr}\left(-\frac{GM}{r}\right) = \frac{GM}{r^{2}} \]

De volledige uitwerking volgt in de volgende sectie.

Appendix 7.1.1 — Buiten een Bol (Laplace)

De Newtoniaanse zwaartekrachtspotentiaal buiten een bol is:

\[ \phi_{\text{newton, buiten}} = -\frac{GM}{r} \]

We gebruiken: \[ r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}, \qquad \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}. \]

Eerste afgeleide naar x

\[ \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial \phi}{\partial r}\,\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{GM}{r^{2}} \cdot \frac{x}{r} = \frac{GM\,x}{r^{3}} \]

Tweede afgeleide naar x

\[ \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{GM\,x}{r^{3}}\right) = GM\left( -3\frac{x^{2}}{r^{5}} + \frac{1}{r^{3}} \right) \]

Analoog voor \(y\) en \(z\):

\[ \frac{\partial^{2}\phi}{\partial y^{2}} = GM\left( -3\frac{y^{2}}{r^{5}} + \frac{1}{r^{3}} \right), \qquad \frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}} = GM\left( -3\frac{z^{2}}{r^{5}} + \frac{1}{r^{3}} \right) \]

Som van de drie richtingen

\[ \Delta\phi = \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}\phi}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}\phi}{\partial z^{2}} \]

\[ \Delta\phi = GM\left[ -3\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{r^{5}} + 3\frac{1}{r^{3}} \right] \]

Omdat \(x^{2}+y^{2}+z^{2} = r^{2}\):

\[ \Delta\phi = GM\left( -3\frac{r^{2}}{r^{5}} + 3\frac{1}{r^{3}} \right) = GM\left( -3\frac{1}{r^{3}} + 3\frac{1}{r^{3}} \right) = 0 \]

Dus buiten de bol geldt:

\[ \Delta\phi_{\text{newton}} = 0 \]

De zwaartekrachtspotentiaal voldoet buiten de massa aan de Laplace‑vergelijking.

Appendix 7.1.2 — Binnen een Bol (Poisson)

Zoals hierboven afgeleid geldt voor de cartesische coördinaten binnen een bol:

De Newtoniaanse zwaartekrachtspotentiaal binnen een homogene bolmassa is (zie vergelijking 2 in Appendix 7.1):

Afgeleiden naar \(x\)

Eerst:

Omdat:

volgt:

Tweede afgeleide:

Hetzelfde geldt voor \(y\) en \(z\). Dus:

Gebruik nu:

Dus:

Binnen de bol voldoet de Newtoniaanse potentiaal dus aan de Poisson‑vergelijking:

Relativistische potentiaal

In zwakke‑veld benadering geldt:

Daarom:

Dus:

Dit is precies de zwakke‑veld limiet van de Einstein‑vergelijkingen.

Appendix 7.1.3 — Vereenvoudiging van de Toepassing van de Laplace-/Poisson-operator

We nemen een functie \(f(r)\) waarop de Laplace‑operator wordt toegepast. De afstand tot de oorsprong is:

\[ r^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2}. \]

Gradiënt van \(f(r)\)

De gradiënt is:

\[ \vec{\nabla} f(r) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right). \]

Omdat: \[ \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r}, \] geldt:

\[ \frac{\partial f(r)}{\partial x} = \frac{df}{dr}\,\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{df}{dr}\,\frac{\vec{x}}{r}. \tag{1} \]

Analoog voor \(y\) en \(z\). Daarom:

\[ \vec{\nabla} f(r) = \frac{df}{dr}\left( \frac{x}{r},\frac{y}{r},\frac{z}{r} \right)= \frac{df}{dr}\left( \frac{\vec{x}}{r}+\frac{\vec{y}}{r}+\frac{\vec{z}}{r} \right) = \frac{df}{dr}\,\frac{\vec{r}}{r} =\frac{df}{dr}\cdot\hat{r}. \]

Tweede afgeleiden

Differentieer vergelijking (1) opnieuw naar \(x\):

\[ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = \frac{d^{2}f}{dr^{2}}\cdot\left(\frac{x}{r}\right)^{2} + \frac{df}{dr}\cdot\frac{1}{r}\cdot\left( 1 - \frac{x^{2}}{r^{2}} \right). \]

Analoog voor \(y\) en \(z\). Sommeer de drie richtingen:

\[ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} = \frac{d^{2}f}{dr^{2}}\cdot \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{r^{2}} + \frac{df}{dr}\cdot\frac{1}{r}\cdot \left( 3 - \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{r^{2}} \right). \]

Omdat \(x^{2}+y^{2}+z^{2} = r^{2}\), volgt:

\[ \Delta f(r) = \frac{d^{2}f}{dr^{2}} + \frac{2}{r}\frac{df}{dr}. \tag{2} \]

Dit is de bekende vorm van de Laplace‑operator in bolsymmetrie.

Toepassing op de algemene Newton‑potentiaal

Neem de algemene vorm:

\[ \phi_{\text{newton}} = L + K r^{n}, \tag{3} \]

waar \(L\) en \(K\) constanten zijn.

Dan:

\[ \frac{d\phi}{dr} = n Kr^{\,n-1}, \qquad \frac{d^{2}\phi}{dr^{2}} = n(n-1) Kr^{\,n-2}. \]

Invullen in (2):

\[ \Delta\phi = n(n-1) Kr^{\,n-2} + \frac{2}{r} n Kr^{\,n-1} = n(n-1 + 2) Kr^{\,n-2} = n(n+1) Kr^{\,n-2} \tag{4} \]

Dit laat zien dat:

• voor \(n = -1\): \(\Delta\phi = 0\) (buiten een bol → Laplace)
• voor \(n = 2\): \(\Delta\phi = 4\pi G\rho\) (binnen een bol → Poisson)

Relativistische correctie

Uit: \[ \phi = 1 + \frac{2\phi_{\text{newton}}}{c^{2}} \] volgt:

\[ \Delta\phi = \frac{2}{c^{2}}\,\Delta\phi_{\text{newton}} = \frac{2}{c^{2}}(4\pi G\rho) = \frac{8\pi G\rho}{c^{2}}. \]

Dus:

\[ \boxed{ \Delta\phi = \frac{8\pi G\rho}{c^{2}} } \]

Toepassing op de gravitatiepotentialen

1. Buiten een bol

\[ \phi_{\text{newton}} = -\frac{GM}{r} \]

Dit komt overeen met:

\[ n = -1, \qquad L = 0, \qquad K = -GM. \]

Invullen in (4):

\[ \Delta\phi = (-1)(-1+1)(-GM)\, r^{-3} = 0 \cdot GM\, r^{-3} = 0. \]

Dus buiten de bol geldt:

\[ \Delta\phi_{\text{newton}} = 0. \]

Dit is precies de Laplace‑vergelijking.

2. Binnen een bol

\[ \phi_{\text{newton}} = -\frac{3GM}{2R} + \frac{GM}{2}\frac{r^{2}}{R^{3}} \]

Dit komt overeen met:

\[ n = +2, \qquad L = -\frac{3GM}{2R}, \qquad K = \frac{GM}{2R^{3}}. \]

Invullen in (4):

\[ \Delta\phi = 2(2+1)\frac{GM}{2R^{3}} r^{\,2-2} = 6\frac{GM}{2R^{3}} = 3\frac{GM}{R^{3}}. \]

Gebruik: \[ M = \frac{4\pi}{3}R^{3}\rho \]

\[ \Delta\phi = 3G\frac{4\pi}{3}R^{3}\rho \frac{1}{R^{3}} = 4\pi G\rho. \]

Dus binnen de bol geldt:

\[ \Delta\phi_{\text{newton}} = 4\pi G\rho. \]

Dit is precies de Poisson‑vergelijking.

Observatie

Uit de algemene formule:

\[ \Delta\phi = n(n+1)K r^{\,n-2} \]

volgt direct dat:

• \(\Delta\phi = 0\) voor \(n = 0\) (constante potentiaal)
• \(\Delta\phi = 0\) voor \(n = -1\) (puntmassa → buiten de bol)
• \(\Delta\phi \to 0\) voor \(r \to \infty\) wanneer \(n < 2\)

Dit sluit perfect aan bij de fysische interpretatie van Laplace (geen bron) en Poisson (wel bron).

Appendix 7.1.4 — Afleiding van de Gravitatiepotentiaal Binnen een Statische Bol

We leiden de gravitatiepotentiaal binnen een statische, homogene bol af op basis van de Poisson-vergelijking:

\[ \Delta \phi_{\text{newton}} = 4\pi G \rho. \]

We nemen de algemene vorm:

\[ \phi_{\text{newton}} = L + K r^{n}. \]

Volgens vergelijking (4) uit Appendix 7.1.3 geldt:

\[ \Delta \phi_{\text{newton}} = n(n+1)K r^{\,n-2}. \tag{2} \]

Substitutie in de Poisson-vergelijking geeft:

\[ 4\pi G\rho = n(n+1)K r^{\,n-2}. \]

Omdat de rechterzijde onafhankelijk moet zijn van \(r\), volgt:

\[ n = 2. \]

Daarmee:

\[ 6K = 4\pi G\rho \quad\Rightarrow\quad K = \frac{2}{3}\pi G\rho. \]

Gebruik: \[ \rho = \frac{3M}{4\pi R^{3}} \]

\[ K = \frac{2}{3}\pi G \cdot \frac{3M}{4\pi R^{3}} = \frac{1}{2}\frac{GM}{R^{3}}. \]

De gravitatiepotentiaal binnen de bol

\[ \phi_{\text{newton}}(r) = L + \frac{1}{2}\frac{GM}{R^{3}} r^{2}. \]

Op het oppervlak \(r = R\) moet de binnenpotentiaal aansluiten op de buitenpotentiaal:

\[ \phi_{\text{newton}}(R) = -\frac{GM}{R}. \]

Dus:

\[ -\frac{GM}{R} = L + \frac{1}{2}\frac{GM}{R^{3}}R^{2} = L + \frac{1}{2}\frac{GM}{R}. \]

Daaruit volgt:

\[ L = -\frac{3}{2}\frac{GM}{R}. \]

De volledige potentiaal binnen de bol wordt dan:

\[ \phi_{\text{newton}}(r) = -\frac{3}{2}\frac{GM}{R} + \frac{1}{2}\frac{GM}{R^{3}} r^{2}. \]

Of compacter:

\[ \boxed{ \phi_{\text{newton}}(r) = -\frac{3GM}{2R} + \frac{GM}{2R^{3}}\, r^{2} } \]

Versnelling binnen de bol

Uit de afgeleide van de Newtoniaanse potentiaal volgt:

\[ g_r = \frac{d\phi_{\text{newton}}}{dr} = \frac{GM}{R^{3}}\, r. \]

Daarmee:

• Bij \(r = 0\): \[ g_r = 0. \]
• Bij \(r = R\): \[ g_r = \frac{GM}{R^{2}}. \]

Dit is precies de klassieke zwaartekracht aan het oppervlak van een bolmassa.

Relativistische gravitatiepotentiaal binnen de bol

De relatie tussen de relativistische potentiaal \(\phi\) en de Newtoniaanse potentiaal is:

\[ \phi = 1 + \frac{2\phi_{\text{newton}}}{c^{2}}. \]

Met: \[ \phi_{\text{newton}}(r) = -\frac{3GM}{2R} + \frac{GM}{2R^{3}} r^{2}, \] volgt:

\[ \phi(r) = 1 + \frac{2}{c^{2}} \left( -\frac{3GM}{2R} + \frac{GM}{2R^{3}} r^{2} \right). \]

Uitwerken geeft:

\[ \boxed{ \phi(r) = 1 - \frac{3GM}{c^{2}R} + \frac{GM}{c^{2}R^{3}}\, r^{2} } \tag{3} \]

Dit is de relativistische tijdcomponent \(g_{00}\) binnen een homogene bol in de zwakke‑veld‑limiet.