De Algemene Relativiteitstheorie van Einstein

Afleidingen, Toepassingen en Beschouwingen – door Albert Prins

Appendix 5 – Schwarzschild Oplossing binnen een Massa \( \rho = \text{const.} \)
Volledige tensorafleiding

Appendix 5.1 – Inleiding

In dit hoofdstuk wordt de volledige tensorafleiding gegeven van de interne Schwarzschild‑oplossing: de oplossing van de Einstein‑veldvergelijkingen voor een statische, sferisch symmetrische massa met constante dichtheid \( \rho \).

We werken in Schwarzschild‑coördinaten met de metriek:

\[ ds^{2} = e^{\nu(r)} c^{2} dt^{2} - e^{\lambda(r)} dr^{2} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2}\theta\, d\phi^{2} \tag{1} \]

waarbij \( \nu(r) \) en \( \lambda(r) \) functies van \( r \) zijn die moeten worden bepaald.

Energie‑impulstensor van een perfecte vloeistof

De energie‑impulstensor van een perfecte vloeistof luidt:

\[ T_{\mu\nu} = (\rho c^{2} + p)\, u_{\mu} u_{\nu} - p\, g_{\mu\nu} \tag{2} \]

Hierin geldt:

De druk \( p \) verschijnt in de tensor omdat in de algemene relativiteit niet alleen energie, maar ook druk en spanning bijdragen aan de kromming van de ruimtetijd. Druk is een vorm van energie per volume en moet daarom worden opgenomen in de totale energie‑inhoud van het systeem.

In een ideaal (isotroop) ruststelsel van de vloeistof reduceert (2) tot:

\[ T_{\mu\nu} = (\rho c^{2} + p)\, u_{\mu} u_{\nu} - p\, g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} \rho c^{2} e^{\nu} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & p\, e^{\lambda} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & p\, r^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & p\, r^{2} \sin^{2}\theta \end{pmatrix} \]

Hieruit blijkt duidelijk dat \( \rho c^{2} \) de energiedichtheid vormt en dat de ruimtelijke diagonaalelementen exact overeenkomen met de isotrope druk \( p \). De vorm van (2) volgt rechtstreeks uit de eisen van isotropie en Lorentz‑invariantie: het gedeelte \( (\rho c^{2} + p)\, u_{\mu} u_{\nu} \) representeert de energie‑ en impulsdichtheid langs de bewegingsrichting, terwijl de term \( -p\, g_{\mu\nu} \) de isotrope druk vertegenwoordigt die in alle ruimtelijke richtingen gelijk is.

Voor een statische vloeistof geldt:

\[ u^{\mu} = \left(e^{-\nu/2},\, 0,\, 0,\, 0\right), \qquad u_{\mu} = \left(e^{\nu/2},\, 0,\, 0,\, 0\right) \] \[ u_{\mu} u^{\mu} = 1, \qquad u_{\mu}u_{\mu}=\left(e^{\nu}, 0, 0, 0\right) = \begin{pmatrix} e^{\nu} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Kort: alle elementen behalve de \( (t,t) \)-component zijn nul; \( u_{t} u_{t} = e^{\nu} \).

Hieruit volgt direct:

\[ T_t^t = \rho c^{2}, \qquad T_r^r = T_\theta^\theta = T_\phi^\phi = p \tag{3} \] \[T_{rr}=g_{rr}T_r^r \quad T_{\theta\theta}=g_{\theta\theta}T_{\theta}^{\theta} \quad T_{\phi\phi}=g_{\phi\phi}T_{\phi}^{\phi} \]

In coördinaatcomponenten:

\[ T_{tt} = (\rho c^{2} + p)\, u_{t} u_{t} - p\, g_{tt} = \rho c^{2} e^{\nu} \] \[ T_{rr} = (\rho c^{2} + p)\, u_{r} u_{r} - p\, g_{rr} = -p(-e^{\lambda}) = p\, e^{\lambda} \] \[ T_{\theta\theta} = (\rho c^{2} + p)\, u_{\theta} u_{\theta} - p\, g_{\theta\theta} = -p(-r^{2}) = p r^{2} \] \[ T_{\phi\phi} = (\rho c^{2} + p)\, u_{\phi} u_{\phi} - p\, g_{\phi\phi} = -p(-r^{2}\sin^{2}\theta) = p r^{2}\sin^{2}\theta \]

De Einstein‑vergelijkingen luiden zoals gebruikelijk:

\[ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R\, g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^{4}}\, T_{\mu\nu} \tag{4} \]

Toelichting

De metriek (1) is de meest algemene statische, sferisch symmetrische metriek. De functie \( \nu(r) \) bepaalt de tijdsvertraging in het zwaartekrachtsveld, terwijl \( \lambda(r) \) de kromming in radiale richting weergeeft. Door deze twee functies te bepalen uit de veldvergelijkingen verkrijgen we de volledige geometrische structuur van het binnenveld.

Appendix 5.2 – Berekening van de Christoffel‑symbolen

De Christoffel‑symbolen worden gegeven door:

\[ \Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\rho\alpha} \left( \frac{\partial g_{\nu\alpha}}{\partial x^{\mu}} + \frac{\partial g_{\mu\alpha}}{\partial x^{\nu}} - \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\alpha}} \right) \]

Voor de interne Schwarzschild‑metriek:

\[ ds^{2} = e^{\nu(r)} c^{2} dt^{2} - e^{\lambda(r)} dr^{2} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2}\theta\, d\phi^{2} \]

Metriek en afgeleiden van de metriek

De metriekcomponenten luiden:

\[ g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} e^{\nu} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -e^{\lambda} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r^{2}\sin^{2}\theta \end{pmatrix} \]

De afgeleiden naar \( r \) zijn:

\[ \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial r} = \begin{pmatrix} \nu' e^{\nu} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\lambda' e^{\lambda} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2r & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2r \sin^{2}\theta \end{pmatrix} \]

Niet‑nul Christoffel‑symbolen

Met \( \nu' = \frac{d\nu}{dr} \) en \( \lambda' = \frac{d\lambda}{dr} \):

\[ \Gamma^{t}{}_{tr}=\Gamma^{t}{}_{rt} = \frac{1}{2} g^{tt} \frac{\partial g_{tt}}{\partial r} = \frac{1}{2}\nu' \tag{5a} \] \[ \Gamma^{r}{}_{tt} = \frac{1}{2} g^{rr}\left(-\frac{\partial g_{tt}}{\partial r}\right) = \frac{1}{2} e^{\nu-\lambda}\, \nu' \tag{5b} \] \[ \Gamma^{r}{}_{rr} = \frac{1}{2} g^{rr} \frac{\partial g_{rr}}{\partial r} = \frac{1}{2}\lambda' \tag{5c} \] \[ \Gamma^{r}{}_{\theta\theta} = -\frac{1}{2} g^{rr} \frac{\partial g_{\theta\theta}}{\partial r} = -r e^{-\lambda} \tag{5d} \] \[ \Gamma^{r}{}_{\phi\phi} = -r e^{-\lambda}\sin^{2}\theta \tag{5e} \] \[ \Gamma^{\theta}{}_{r\theta} = \Gamma^{\theta}{}_{\theta r} = \frac{1}{r} \tag{5f} \] \[ \Gamma^{\phi}{}_{r\phi} = \Gamma^{\phi}{}_{\phi r} = \frac{1}{r} \tag{5f} \] \[ \Gamma^{\phi}{}_{\phi\theta} = -\sin\theta\cos\theta \tag{5g} \] \[ \Gamma^{\theta}{}_{\phi\phi} =\frac{ \cos\theta}{\sin\theta} = \cot\theta \tag{5h} \]

Afgeleiden van de Christoffel‑symbolen

\[ \frac{\partial}{\partial r}\Gamma^{t}{}_{rt} = \frac{\partial}{\partial r}\Gamma^{t}{}_{tr} = \frac{1}{2}\nu'' \] \[ \frac{\partial}{\partial r}\Gamma^{r}{}_{tt} = \frac{1}{2} e^{\nu-\lambda} \left( \nu'^{2} - \lambda'\nu' + \nu'' \right) \] \[ \frac{\partial}{\partial r}\Gamma^{r}{}_{rr} = \frac{1}{2}\lambda'' \] \[ \frac{\partial}{\partial r}\Gamma^{r}{}_{\theta \theta} = \frac{\partial}{\partial r}(-r e^{-\lambda}) = -e^{-\lambda} + r e^{-\lambda}\lambda' = e^{-\lambda}(r\lambda' - 1) \] \[ \frac{\partial}{\partial r}\Gamma^{r}{}_{\phi \phi} = -e^{-\lambda}\sin^{2}\theta + r e^{-\lambda}\lambda'\sin^{2}\theta = e^{-\lambda}(r\lambda' - 1)\sin^{2}\theta \]

Afgeleiden van de Christoffel‑symbolen

Voor de hoekcomponenten gelden:

\[ \frac{\partial}{\partial r}\Gamma^{\theta}{}_{r\theta} = \frac{\partial}{\partial r}\Gamma^{\theta}{}_{\theta r} = \frac{\partial}{\partial r}\Gamma^{\phi}{}_{r\phi} = \frac{\partial}{\partial r}\Gamma^{\phi}{}_{\phi r} = \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\right) = -\frac{1}{r^{2}} \] \[ \frac{\partial}{\partial \theta}\Gamma^{\theta}{}_{\phi\phi} = \frac{\partial}{\partial \theta}(-\sin\theta\cos\theta) = -(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta) \] \[ \frac{\partial}{\partial \theta}\Gamma^{\phi}{}_{\theta\phi} = \frac{\partial}{\partial \theta}\Gamma^{\phi}{}_{\phi\theta} = \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right) = -\frac{\sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta}{\sin^{2}\theta} = -\frac{1}{\sin^{2}\theta} \]

Toelichting

De afleiding van deze symbolen volgt rechtstreeks uit de definitie:

\[ \Gamma^{\rho}{}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\rho\sigma} \left( \frac{\partial g_{\nu\sigma}}{\partial x^{\mu}} + \frac{\partial g_{\mu\sigma}}{\partial x^{\nu}} - \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} \right) \]

Omdat de metriek uitsluitend van \( r \) afhangt, blijven alleen afgeleiden naar \( r \) over.

Appendix 5.3 – Ricci‑tensorcomponenten

Zoals gevonden in Hoofdstuk 2.14.2 (Eerste Poging met de Ricci‑tensor) luidt de definitie:

\[ R_{\mu\nu} = R^{\sigma}{}_{\mu\sigma\nu} = \frac{\partial \Gamma^{\sigma}{}_{\mu\nu}}{\partial x^{\sigma}} - \frac{\partial \Gamma^{\sigma}{}_{\mu\sigma}}{\partial x^{\nu}} + \Gamma^{\sigma}{}_{\lambda\sigma}\Gamma^{\lambda}{}_{\mu\nu} - \Gamma^{\sigma}{}_{\lambda\nu}\Gamma^{\lambda}{}_{\mu\sigma} \]

Volledige afleiding van \( R_{tt} \)

We zetten \( \mu = \nu = t \). Bereken de vier termen afzonderlijk.

1. Eerste term: \( \frac{\partial \Gamma^{\sigma}{}_{tt}}{\partial x^{\sigma}} \)

Alleen \( \sigma = r \) draagt bij, omdat alle andere \( \Gamma^{\sigma}{}_{tt} = 0 \).

Met (zie boven): \[ \Gamma^{r}{}_{tt} = \frac{1}{2} e^{\nu - \lambda}\, \nu' \] krijgen we:

\[ \frac{\partial}{\partial \sigma}\Gamma^{\sigma}{}_{tt} = \frac{\partial}{\partial r}\Gamma^{r}{}_{tt} = \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{1}{2} e^{\nu - \lambda}\, \nu' \right) = \frac{1}{2} e^{\nu - \lambda} \left( \nu'' + \nu'^{2} - \lambda'\nu' \right) \]

2. Tweede term: \( -\frac{\partial \Gamma^{\sigma}{}_{t\sigma}}{\partial t} \)

Omdat de metriek statisch is (geen \( t \)-afhankelijkheid), is deze term nul:

\[ -\frac{\partial}{\partial t}\Gamma^{\sigma}{}_{t\sigma} = 0 \]

3. Derde term: \( \Gamma^{\sigma}{}_{\lambda\sigma}\Gamma^{\lambda}{}_{tt} \)

Alleen \( \lambda = r \) geeft een niet‑nul \( \Gamma^{\lambda}{}_{tt} \). De term wordt dus:

Berekening van de term \( \Gamma^{\sigma}{}_{\lambda\sigma}\Gamma^{\lambda}{}_{tt} \)

We hebben:

\[ \Gamma^{\sigma}{}_{\lambda\sigma}\Gamma^{\lambda}{}_{tt} = \Gamma^{\sigma}{}_{r\sigma}\,\Gamma^{r}{}_{tt} \]

Eerst berekenen we:

\[ \Gamma^{\sigma}{}_{r\sigma} = \Gamma^{t}{}_{rt} + \Gamma^{r}{}_{rr} + \Gamma^{\theta}{}_{r\theta} + \Gamma^{\phi}{}_{r\phi} = \frac{1}{2}\nu' + \frac{1}{2}\lambda' + \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{1}{2}(\nu' + \lambda') + \frac{2}{r} \]

Dus:

\[ \Gamma^{\sigma}{}_{\lambda\sigma}\Gamma^{\lambda}{}_{tt} = \left[ \frac{1}{2}(\nu' + \lambda') + \frac{2}{r} \right] \cdot \frac{1}{2} e^{\nu - \lambda}\nu' \] \[ = \frac{1}{4} e^{\nu - \lambda}\nu'(\nu' + \lambda') + e^{\nu - \lambda}\frac{\nu'}{r} \]

4. De vierde term: \( -\Gamma^{\sigma}{}_{t\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{t\sigma} \)

We moeten alle niet-nul producten \( \Gamma^{\sigma}{}_{t\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{t\sigma} \) optellen. De enige niet‑nul Christoffel‑symbolen met een tijd‑index zijn:

\[ \Gamma^{\sigma}{}_{t\lambda} = \frac{1}{2}\nu', \qquad \Gamma^{r}{}_{tt} = \frac{1}{2} e^{\nu - \lambda}\nu' \]

Door symmetrie zijn er twee gelijke bijdragen:

\[ -\Gamma^{\sigma}{}_{t\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{t\sigma} = -\Gamma^{t}{}_{r t}\Gamma^{r}{}_{t t} - \Gamma^{t}{}_{t r}\Gamma^{r}{}_{t t} = -2\left(\frac{1}{2}\nu'\right) \left(\frac{1}{2} e^{\nu - \lambda}\nu'\right) = -\frac{1}{2} e^{\nu - \lambda}\nu'^{2} \]

5. Sommeer alle bijdragen

We voegen nu de vier termen samen (de tweede term was nul):

\[ R_{tt} = \frac{1}{2} e^{\nu - \lambda} \left( \nu'' + \nu'^{2} - \lambda'\nu' \right) + \frac{1}{4} e^{\nu - \lambda}\nu'(\nu' + \lambda') + e^{\nu - \lambda}\frac{\nu'}{r} - \frac{1}{2} e^{\nu - \lambda}\nu'^{2} \]

Na vereenvoudigen:

\[ R_{tt} = \frac{1}{2} e^{\nu - \lambda} \left( \nu'' + \frac{1}{2}\nu'^{2} - \frac{1}{2}\lambda'\nu' + \frac{2\nu'}{r} \right) \]

Dus:

\[ \boxed{ R_{tt} = \frac{1}{2} e^{\nu - \lambda} \left( \nu'' + \frac{1}{2}\nu'^{2} - \frac{1}{2}\lambda'\nu' + \frac{2\nu'}{r} \right) } \]

Volledige afleiding van \( R_{rr} \)

De Ricci‑component:

\[ R_{rr} = \frac{\partial \Gamma^{\sigma}{}_{rr}}{\partial x^{\sigma}} - \frac{\partial \Gamma^{\sigma}{}_{r\sigma}}{\partial r} + \Gamma^{\sigma}{}_{\lambda\sigma}\Gamma^{\lambda}{}_{rr} - \Gamma^{\sigma}{}_{r\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{r\sigma} \]

We zetten \( \mu = \nu = r \). Bereken de vier termen afzonderlijk.

1. Eerste term: \( \frac{\partial \Gamma^{\sigma}{}_{rr}}{\partial x^{\sigma}} \)

De enige niet‑nul \(\Gamma^{\sigma}{}_{rr} \) component is:

\[ \Gamma^{r}{}_{rr} = \frac{1}{2}\lambda' \]

Dus:

\[ \frac{\partial}{\partial x^{\sigma}}\Gamma^{\sigma}{}_{rr} = \frac{\partial}{\partial r}\Gamma^{r}{}_{rr} = \frac{1}{2}\lambda'' \]

2. Tweede term: \( -\dfrac{\partial \Gamma^{\sigma}{}_{r\sigma}}{\partial r} \)

Eerst berekenen we de som:

\[ \Gamma^{\sigma}{}_{r\sigma} = \Gamma^{t}{}_{rt} + \Gamma^{r}{}_{rr} + \Gamma^{\theta}{}_{r\theta} + \Gamma^{\phi}{}_{r\phi} = \frac{1}{2}\nu' + \frac{1}{2}\lambda' + \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{1}{2}(\nu' + \lambda') + \frac{2}{r} \]

Differentieer naar \( r \):

\[ \frac{\partial}{\partial r}\Gamma^{\sigma}{}_{r\sigma} = \frac{1}{2}(\nu'' + \lambda'') - \frac{2}{r^{2}} \]

Dus:

\[ -\frac{\partial}{\partial r}\Gamma^{\sigma}{}_{r\sigma} = -\frac{1}{2}(\nu'' + \lambda'') + \frac{2}{r^{2}} \]

3. Derde term: \( \Gamma^{\sigma}{}_{\lambda\sigma}\Gamma^{\lambda}{}_{rr} \)

Alleen \( \lambda = r \) draagt bij, want \( \Gamma^{\lambda}{}_{rr} \) is alleen niet‑nul voor \( \lambda = r \).

\[ \Gamma^{\sigma}{}_{\lambda\sigma}\Gamma^{\lambda}{}_{rr} = \Gamma^{\sigma}{}_{r\sigma}\Gamma^{r}{}_{rr} \]

We gebruiken opnieuw:

\[ \Gamma^{\sigma}{}_{r\sigma} = \frac{1}{2}(\nu' + \lambda') + \frac{2}{r} \] \[ \Gamma^{r}{}_{rr} = \frac{1}{2}\lambda' \]

Dus:

\[ \Gamma^{\sigma}{}_{\lambda\sigma}\Gamma^{\lambda}{}_{rr} = \left[ \frac{1}{2}(\nu' + \lambda') + \frac{2}{r} \right] \cdot \frac{1}{2}\lambda' = \frac{1}{4}(\nu' + \lambda')\lambda' + \frac{\lambda'}{r} \]

4. Vierde term: \( -\Gamma^{\sigma}{}_{r\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{r\sigma} \)

We sommen alle niet‑nul producten:

\[ \Gamma^{\sigma}{}_{r\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{r\sigma} = \Gamma^{t}{}_{rt}\Gamma^{t}{}_{rt} + \Gamma^{r}{}_{rr}\Gamma^{r}{}_{rr} + \Gamma^{\theta}{}_{r\theta}\Gamma^{\theta}{}_{r\theta} + \Gamma^{\phi}{}_{r\phi}\Gamma^{\phi}{}_{r\phi} \]

Invullen:

\[ = \left(\frac{1}{2}\nu'\right)^{2} + \left(\frac{1}{2}\lambda'\right)^{2} + \left(\frac{1}{r}\right)^{2} + \left(\frac{1}{r}\right)^{2} = \frac{1}{4}\nu'^{2} + \frac{1}{4}\lambda'^{2} + \frac{2}{r^{2}} \]

Dus:

\[ -\Gamma^{\sigma}{}_{r\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{r\sigma} = -\frac{1}{4}\nu'^{2} - \frac{1}{4}\lambda'^{2} - \frac{2}{r^{2}} \]

5. Sommeer alle termen

We voegen nu de vier bijdragen samen:

\[ R_{rr} = \frac{1}{2}\lambda'' - \frac{1}{2}(\nu'' + \lambda'') + \frac{2}{r^{2}} + \frac{1}{4}(\nu' + \lambda')\lambda' + \frac{\lambda'}{r} - \frac{1}{4}\nu'^{2} - \frac{1}{4}\lambda'^{2} - \frac{2}{r^{2}} \]

De termen \( +\frac{2}{r^{2}} \) en \( -\frac{2}{r^{2}} \) vallen weg. Ook \( \frac{1}{2}\lambda'' - \frac{1}{2}\lambda'' = 0 \).

We houden over:

\[ R_{rr} = -\frac{1}{2}\nu'' + \frac{1}{4}(\nu' + \lambda')\lambda' + \frac{\lambda'}{r} - \frac{1}{4}\nu'^{2} - \frac{1}{4}\lambda'^{2} \]

Vereenvoudig:

\[ \boxed{ R_{rr} = -\frac{1}{2}\nu'' + \frac{1}{4}\nu'\lambda' + \frac{1}{4}\lambda'^{2} + \frac{\lambda'}{r} - \frac{1}{4}\nu'^{2} - \frac{1}{4}\lambda'^{2} } \]

De \( \lambda'^2 \)-termen vallen weg:

\[ \boxed{ R_{rr} = -\frac{1}{2}\nu'' + \frac{1}{4}\nu'\lambda' + \frac{\lambda'}{r} - \frac{1}{4}\nu'^{2} } \] of: \[ R_{rr} = -\frac{\nu''}{2} -\frac{\nu'^2}{4} +\frac{\nu'\lambda'}{4} +\frac{\lambda'}{r} \]

Door \( -\tfrac{1}{2} \) buiten haakjes te halen, krijgen we de conventionele vorm:

\[ \boxed{ R_{rr} = -\frac{1}{2} \left( \nu'' + \frac{1}{2}\nu'^2 - \frac{1}{2}\nu'\lambda' - \frac{2\lambda'}{r} \right) } \]

Volledige afleiding van \( R_{\theta\theta} \)

De definitie:

\[ R_{\theta\theta} = \frac{\partial \Gamma^{\sigma}{}_{\theta\theta}}{\partial x^{\sigma}} - \frac{\partial \Gamma^{\sigma}{}_{\theta\sigma}}{\partial x^{\theta}} + \Gamma^{\sigma}{}_{\lambda\sigma}\Gamma^{\lambda}{}_{\theta\theta} - \Gamma^{\sigma}{}_{\theta\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{\theta\sigma} \]

We nemen \( \mu = \nu = \theta \). We splitsen opnieuw in vier termen.

1. Eerste term: \( \dfrac{\partial \Gamma^{\sigma}{}_{\theta\theta}}{\partial x^{\sigma}} \)

Alleen \( \sigma = r \) draagt bij, want:

\[ \Gamma^{\sigma}{}_{\theta \theta} = -r e^{-\lambda} \]

Dus:

\[ \frac{\partial}{\partial x^\sigma}\Gamma^{\sigma}{}_{\theta \theta} = \frac{\partial}{\partial r}\Gamma^{r}{}_{\theta \theta} = \frac{\partial}{\partial r}(-r e^{-\lambda}) = -e^{-\lambda} + r e^{-\lambda}\lambda' \]

2. Tweede term: \( -\dfrac{\partial \Gamma^{\sigma}{}_{\theta\sigma}}{\partial x^{\theta}} \)

Alleen \( \sigma = \phi \) draagt bij, want (zie vergelijking 5h):

\[ \Gamma^{\phi}{}_{\theta\phi} = \cot\theta \]

Dus:

\[ -\frac{\partial}{\partial \theta}\Gamma^{\phi}{}_{\theta\phi} = -\frac{\partial}{\partial \theta}(\cot\theta) = \frac{1}{\sin^{2}\theta} \]

3. Derde term: \( \Gamma^{\sigma}{}_{\lambda\sigma}\Gamma^{\lambda}{}_{\theta\theta} \)

Voor \( \lambda = r \) geldt:

\[ \Gamma^{r}{}_{\theta \theta} = -r e^{-\lambda} \]

We gebruiken opnieuw:

\[ \Gamma^{\sigma}{}_{r\sigma} = \frac{1}{2}(\nu' + \lambda') + \frac{2}{r} \]

Dus:

\[ \Gamma^{\sigma}{}_{\lambda\sigma}\Gamma^{\lambda}{}_{\theta\theta} = \Gamma^{\sigma}{}_{\sigma r}\Gamma^{r}{}_{\theta\theta} = \left[ \frac{1}{2}(\nu' + \lambda') + \frac{2}{r} \right] (-r e^{-\lambda}) \]

Uitwerken:

\[ = -\frac{1}{2} r e^{-\lambda}(\nu' + \lambda') - 2 e^{-\lambda} \]

4. Vierde term: \( -\Gamma^{\sigma}{}_{\theta\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{\theta\sigma} \)

We schrijven eerst de volledige som van alle mogelijke producten:

\[ \Gamma^{\sigma}{}_{\theta\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{\theta\sigma} = \Gamma^{t}{}_{\theta t}\Gamma^{t}{}_{\theta t} + \Gamma^{t}{}_{\theta r}\Gamma^{r}{}_{\theta t} + \Gamma^{t}{}_{\theta \theta}\Gamma^{\theta}{}_{\theta\ t} + \Gamma^{t}{}_{\theta \phi}\Gamma^{\phi}{}_{\theta t} \] \[ + \Gamma^{r}{}_{\theta t}\Gamma^{t}{}_{\theta r} + \Gamma^{r}{}_{\theta r}\Gamma^{r}{}_{\theta r} + \Gamma^{r}{}_{\theta \theta}\Gamma^{\theta}{}_{\theta r} + \Gamma^{r}{}_{\theta \phi}\Gamma^{\phi}{}_{\theta r} \] \[ + \Gamma^{\theta}{}_{\theta t}\Gamma^{t}{}_{\theta \theta} + \Gamma^{\theta}{}_{\theta r}\Gamma^{r}{}_{\theta \theta} + \Gamma^{\theta}{}_{\theta \theta}\Gamma^{\theta}{}_{\theta\theta} + \Gamma^{\theta}{}_{\theta \phi}\Gamma^{\phi}{}_{\theta\theta} \] \[ + \Gamma^{\phi}{}_{\phi t}\Gamma^{t}{}_{\theta \phi} + \Gamma^{\phi}{}_{\theta r}\Gamma^{r}{}_{\theta \phi} + \Gamma^{\phi}{}_{\theta\theta}\Gamma^{\theta}{}_{\theta\phi} + \Gamma^{\phi}{}_{\theta\phi}\Gamma^{\phi}{}_{\theta\phi} \]

Voor de statisch-sferische metriek zijn vrijwel alle termen nul. De enige niet‑nul bijdragen zijn:

\[ \Gamma^{\theta}{}_{\theta r} = \frac{1}{r}, \qquad \Gamma^{r}{}_{\theta\theta} = -r e^{-\lambda}, \qquad \Gamma^{\phi}{}_{\theta\phi} = \cot\theta. \]

Invullen geeft:

\[ \Gamma^{\sigma}{}_{\theta\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{\theta\sigma} = \left(-r e^{-\lambda}\right)\left(\frac{1}{r}\right) + \left(\frac{1}{r}\right)\left(-r e^{-\lambda}\right) + \cot^{2}\theta \] \[ = -2 e^{-\lambda} + \cot^{2}\theta \]

Daarom:

\[ \boxed{ -\Gamma^{\sigma}{}_{\theta\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{\theta\sigma} = 2 e^{-\lambda} - \cot^{2}\theta } \]

Relevante niet‑nul producten (compact)

Kortom: de radiale term levert \(2e^{-\lambda}\), de hoektermen leveren samen \(1\), en dit past exact in de standaardafleiding van \(R_{\theta\theta}\).

5. Sommeer alle bijdragen (radiaal + hoekdelen)

We voegen nu alle termen samen:

\[ R_{\theta\theta} = \left(-e^{-\lambda} + r e^{-\lambda}\lambda'\right) + \frac{1}{\sin^{2}\theta} + \left( -\frac{1}{2} r e^{-\lambda}(\nu' + \lambda') - 2 e^{-\lambda} \right) + \left( 2 e^{-\lambda} - \cot^{2}\theta \right) \]

De hoekdelen geven samen:

\[ \frac{1}{\sin^{2}\theta} - \cot^{2}\theta = 1 \]

Dus:

\[ R_{\theta\theta} = 1 - e^{-\lambda} + r e^{-\lambda}\lambda' - \frac{1}{2} r e^{-\lambda}(\nu' + \lambda') \]

Vereenvoudigen:

\[ \boxed{ R_{\theta\theta} = 1 - e^{-\lambda} \left( 1 + \frac{r}{2}(\nu' - \lambda') \right) } \]

Volledige afleiding van \( R_{\phi\phi} \)

De definitie:

\[ R_{\phi\phi} = \frac{\partial \Gamma^{\sigma}{}_{\phi\phi}}{\partial x^{\sigma}} - \frac{\partial \Gamma^{\sigma}{}_{\phi\sigma}}{\partial \phi} + \Gamma^{\sigma}{}_{\sigma\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{\phi\phi} - \Gamma^{\sigma}{}_{\phi\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{\phi\sigma} \]

We nemen \( \mu = \nu = \phi \). Ook hier splitsen we in vier termen.

1. Eerste term: \( \dfrac{\partial \Gamma^{\sigma}{}_{\phi\phi}}{\partial x^{\sigma}} \)

De niet‑nul Christoffel‑symbolen zijn:

\[ \Gamma^{r}{}_{\phi \phi} = -r e^{-\lambda}\sin^{2}\theta, \qquad \Gamma^{\theta}{}_{\phi\phi} = -\sin\theta\cos\theta \]

Dus:

\[ \frac{\partial \Gamma^{r}{}_{\phi \phi}}{\partial x^\sigma} = -e^{-\lambda}\sin^{2}\theta \left(1 - r\lambda'\right) \] \[ \frac{\partial \Gamma^{\theta}{}_{\phi\phi}}{\partial \theta} = -(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta) \]

Samen:

\[ \frac{\partial \Gamma^{\sigma}{}_{\phi \phi}}{\partial x^\sigma} = -e^{-\lambda}\sin^{2}\theta\,(1 - r\lambda') - (\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta) \]

2. Tweede term: \( -\dfrac{\partial \Gamma^{\sigma}{}_{\phi\sigma}}{\partial \phi} \)

Alle Christoffel‑symbolen zijn onafhankelijk van \( \phi \), dus:

\[ -\frac{\partial}{\partial \phi}\Gamma^{\sigma}{}_{\phi\sigma} = 0 \]

3. Derde term: \( \Gamma^{\sigma}{}_{\sigma\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{\phi\phi} \)

Niet‑nul bijdragen komen van \( \lambda = r \) en \( \lambda = \theta \):

\[ \Gamma^{r}{}_{\phi \phi} = -r e^{-\lambda}\sin^{2}\theta, \qquad \Gamma^{\theta}{}_{\phi\phi} = -\sin\theta\cos\theta \]

We gebruiken opnieuw:

\[ \Gamma^{\sigma}{}_{\sigma r} = \Gamma^{t}{}_{tr} + \Gamma^{r}{}_{rr} + \Gamma^{\theta}{}_{\theta r} + \Gamma^{\phi}{}_{\phi r} = \frac{1}{2}\nu' + \frac{1}{2}\lambda' + \frac{1}{r} + \frac{1}{r} = \frac{1}{2}(\nu' + \lambda') + \frac{2}{r} \] \[ \Gamma^{\sigma}{}_{\sigma\theta} = \Gamma^{t}{}_{t \theta} + \Gamma^{r}{}_{r \theta} + \Gamma^{\theta}{}_{\theta \theta} + \Gamma^{\phi}{}_{\phi \theta} =0+0+0+\cot{\theta} \] \[ \Gamma^{\sigma}{}_{\sigma\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{\phi\phi} = \Gamma^{\sigma}{}_{\sigma r}\Gamma^{r}{}_{\phi\phi}+ \Gamma^{\sigma}{}_{\sigma \theta}\Gamma^{\theta}{}_{\phi\phi} \] \[ =\left( \frac{1}{2}\nu' + \frac{1}{2}\lambda' + \frac{2}{r} \right)\, \Gamma^{r}_{\phi\phi} + \left(\cot{\theta}\right)\, \Gamma^{\theta}_{\phi\phi} \]

Dus:

\[ \Gamma^{\sigma}{}_{\sigma\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{\phi\phi} = \left[ \frac{1}{2}(\nu' + \lambda') + \frac{2}{r} \right] \left( -r e^{-\lambda}\sin^{2}\theta \right) + \cot\theta\left(-\sin\theta\cos\theta\right) \]

Uitwerken:

\[ = -e^{-\lambda}\sin^{2}\theta \left( \frac{r}{2}(\nu' + \lambda') + 2 \right) - \cos^{2}\theta \]

4. Vierde term: \( -\Gamma^{\sigma}{}_{\phi\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{\phi\sigma} \)

De niet‑nul producten zijn:

\[ \Gamma^{r}{}_{\phi\phi}\Gamma^{\phi}{}_{\phi r} = \Gamma^{\phi}{}_{\phi r}\Gamma^{r}{}_{\phi\phi} = \left(\frac{1}{r}\right)\left(-r e^{-\lambda}\sin^{2}\theta\right) = -e^{-\lambda}\sin^{2}\theta \] \[ \Gamma^{\theta}{}_{\phi \phi}\Gamma^{\phi}{}_{\phi\theta} = \Gamma^{\phi}{}_{\phi \theta}\Gamma^{\theta}{}_{\phi\phi} = (\cot\theta)(-\sin\theta\cos\theta) = -\cos^{2}\theta \]

Nu alle relevante termen:

\[ \Gamma^{\sigma}{}_{\phi\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{\phi\sigma}= \Gamma^{r}{}_{\phi\phi}\Gamma^{\phi}{}_{\phi r} + \Gamma^{\theta}{}_{\phi \phi}\Gamma^{\phi}{}_{\phi\theta} + \Gamma^{\phi}{}_{\phi r}\Gamma^{r}{}_{\phi\phi} + \Gamma^{\phi}{}_{\phi \theta}\Gamma^{\theta}{}_{\phi\phi} \]

De eerste en de derde term zijn gelijk, evenals de tweede en de vierde term. Dus nu wordt:

\[ \Gamma^{\sigma}{}_{\phi\lambda}\Gamma^{\lambda}{}_{\phi\sigma} = -2e^{-\lambda}\sin^{2}\theta - 2\cos^{2}\theta \]

Dus de resulterende vierde term is:

\[ -\Gamma^{\phi}{}_{\lambda\sigma}\Gamma^{\sigma}{}_{\phi\lambda} = 2 e^{-\lambda}\sin^{2}\theta + 2\cos^{2}\theta \]

5. Sommeer alle bijdragen

We voegen nu alles samen:

\[ R_{\phi\phi} = -e^{-\lambda}\sin^{2}\theta(1 - r\lambda') - (\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta)+ \] \[ - e^{-\lambda}\sin^{2}\theta \left( \frac{r}{2}(\nu' + \lambda') + 2 \right) - \cos^{2}\theta + 2 e^{-\lambda}\sin^{2}\theta + 2\cos^{2}\theta \]

De hoekdelen vereenvoudigen tot:

\[ -(\cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta) -\cos^{2}\theta +2\cos^{2}\theta = \sin^{2}\theta \]

De radiale delen combineren tot:

\[ R_{\phi\phi} = \sin^{2}\theta \left[ 1 - e^{-\lambda} \left( 1 + \frac{r}{2}(\nu' - \lambda') \right) \right] \]

Dus de eindvorm is:

\[ \boxed{ R_{\phi\phi} = \sin^{2}\theta\, \left[ 1 - e^{-\lambda} \left( 1 + \frac{r}{2}(\nu' - \lambda') \right) \right] } \]

Anders geschreven:

\[ \boxed{ R_{\phi\phi} = \sin^{2}\theta \left[ 1 + e^{-\lambda}\frac{1}{2} \left( r\lambda' - r\nu' - 2 \right) \right] } \]

Vergelijking met Rθθ

We hadden eerder gevonden dat:

\[ R_{\theta\theta} = 1 + e^{-\lambda}\frac{1}{2} \left( r\lambda' - r\nu' - 2 \right) \]

Daarom volgt onmiddellijk:

\[ \boxed{ R_{\phi\phi} = \sin^{2}\theta\, R_{\theta\theta} } \]

Dit is exact wat men verwacht voor een sferisch symmetrische metriek: de \( \phi\phi \)-component is de \( \theta\theta \)-component vermenigvuldigd met \( \sin^{2}\theta \).

Opmerking

De hier afgeleide uitdrukkingen zijn precies de standaardresultaten uit de literatuur. Na substitutie van \[ e^{-\lambda} = 1 - \frac{2Gm(r)}{c^{2}r} \] verkrijg je de gebruikelijke Einstein‑vergelijkingen voor een statische ster, waaruit o.a. de massafunctie \( m(r) \) en de TOV‑vergelijking volgen.

Ricci‑scalar

De Ricci‑scalar is:

\[ R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu} = g^{tt}R_{tt} + g^{rr}R_{rr} + g^{\theta\theta}R_{\theta\theta} + g^{\phi\phi}R_{\phi\phi} \]

We gebruiken:

\[ g^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} e^{-\nu} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -e^{-\lambda} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{r^{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta} \end{pmatrix} \]

Omdat \[ R_{\phi\phi} = \sin^{2}\theta\, R_{\theta\theta}, \qquad g^{\phi\phi} = -\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta}, \] geldt:

\[ g^{\phi\phi} R_{\phi\phi} = -\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta} \cdot \sin^{2}\theta\, R_{\theta\theta} = -\frac{1}{r^{2}} R_{\theta\theta} = g^{\theta\theta} R_{\theta\theta} \]

Dus de hoekbijdragen combineren elegant:

\[ g^{\theta\theta}R_{\theta\theta} + g^{\phi\phi}R_{\phi\phi} = 2 g^{\theta\theta} R_{\theta\theta} \]

Ricci-scalar uit de componenten

We gebruiken de gevonden componenten:

\[ R_{tt} = \frac{1}{2} e^{\nu-\lambda} \left( \nu'' + \frac{1}{2}\nu'^2 - \frac{1}{2}\lambda'\nu' + \frac{2\nu'}{r} \right) \] \[ R_{rr} = -\frac{1}{2} \left( \nu'' + \frac{1}{2}\nu'^2 - \frac{1}{2}\nu'\lambda' - \frac{2\lambda'}{r} \right) \] \[ R_{\theta\theta} = 1 - e^{-\lambda} \left( 1 + \frac{r}{2}(\nu' - \lambda') \right) \] \[ R_{\phi\phi} = \sin^{2}\theta\, R_{\theta\theta} \]

Ricci-scalar

De Ricci-scalar is:

\[ R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu} = g^{tt}R_{tt} + g^{rr}R_{rr} + 2 g^{\theta\theta} R_{\theta\theta} \]

Met:

\[ g^{tt} = e^{-\nu},\qquad g^{rr} = -e^{-\lambda},\qquad g^{\theta\theta} = -\frac{1}{r^{2}} \]

Dus:

\[ R = e^{-\nu} R_{tt} - e^{-\lambda} R_{rr} - \frac{2}{r^{2}} R_{\theta\theta} \]

Invullen van de componenten geeft:

\[ \boxed{ R = e^{-\lambda} \left( \nu'' + \frac{1}{2}\nu'^2 - \frac{1}{2}\lambda'\nu' + \frac{2}{r}(\nu' - \lambda') \right) + \frac{2}{r^{2}}(e^{-\lambda} - 1) } \]

Ricci‑tensorcomponenten

De relevante componenten van de Ricci‑tensor voor de interne Schwarzschild‑metriek zijn:

\[ \boxed{ R_{tt} = \frac{1}{2} e^{\nu-\lambda} \left( \nu'' + \frac{1}{2}\nu'^2 - \frac{1}{2}\lambda'\nu' + \frac{2\nu'}{r} \right) } \] \[ \boxed{ R_{rr} = -\frac{1}{2} \left( \nu'' + \frac{1}{2}\nu'^2 - \frac{1}{2}\nu'\lambda' - \frac{2\lambda'}{r} \right) } \tag{6} \] \[ \boxed{ R_{\theta\theta} = 1 - e^{-\lambda} \left( 1 + \frac{r}{2}(\nu' - \lambda') \right) } \] \[ \boxed{ R_{\phi\phi} = \sin^{2}\theta\, R_{\theta\theta} } \]

Ricci‑scalar

\[ \boxed{ R = e^{-\lambda} \left( \nu'' + \frac{1}{2}\nu'^2 - \frac{1}{2}\lambda'\nu' + \frac{2}{r}(\nu' - \lambda') \right) + \frac{2}{r^{2}}(e^{-\lambda} - 1) } \tag{7} \]

Deze componenten vormen de basis voor de Einstein‑vergelijkingen binnenin een ster, waaruit de massafunctie \(m(r)\), de drukvergelijking en uiteindelijk de Tolman–Oppenheimer–Volkoff‑vergelijking volgen.

Appendix 5.4 — Einstein‑vergelijkingen expliciet

Invullen van (6) en (7) in de Einstein‑vergelijking \[ G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}R\, g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^{4}} T_{\mu\nu} \tag{4} \] geeft drie onafhankelijke vergelijkingen.

(i) tt-component

\[ G_{tt} = R_{tt} - \frac{1}{2} R\, g_{tt} = \frac{8\pi G}{c^{4}}\, \rho c^{2} e^{\nu} \]

Invullen:

\[ G_{tt} = \frac{1}{2} e^{\nu-\lambda} \left( \nu'' + \frac{1}{2}\nu'^2 - \frac{1}{2}\lambda'\nu' + \frac{2\nu'}{r} \right)+ \] \[ - \frac{1}{2} e^{\nu} \left[ e^{-\lambda} \left( \nu'' + \frac{1}{2}\nu'^2 - \frac{1}{2}\lambda'\nu' + \frac{2}{r}(\nu' - \lambda') \right) + \frac{2}{r^{2}}(e^{-\lambda} - 1) \right] \]

Na vereenvoudiging:

\[ G_{tt} = \frac{e^{\nu-\lambda}}{r^{2}} \left( r\lambda' - 1 + e^{\lambda} \right) = \frac{8\pi G}{c^{4}}\, \rho c^{2} e^{\nu} \]

Dus:

\[ \frac{1}{r^{2}} \left( 1 + e^{-\lambda}(r\lambda' - 1) \right) = \frac{8\pi G}{c^{2}}\, \rho \]

Of in totale afgeleide vorm:

\[ \boxed{ \frac{1}{r^{2}} \frac{d}{dr} \left[ r\left(1 - e^{-\lambda}\right) \right] = \frac{8\pi G}{c^{2}}\, \rho } \tag{8} \]

Dit is de bekende vergelijking die leidt tot de massafunctie \( m(r) \).

(ii) rr-component

\[ G_{rr} = R_{rr} - \frac{1}{2}R\, g_{rr} = \frac{8\pi G}{c^{4}}\, p\, e^{\lambda} \]

Invullen:

\[ G_{rr} = -\frac{1}{2} \left( \nu'' + \frac{1}{2}\nu'^2 - \frac{1}{2}\lambda'\nu' - \frac{2\lambda'}{r} \right) + \] \[ + \frac{1}{2} e^{\lambda} \left[ e^{-\lambda} \left( \nu'' + \frac{1}{2}\nu'^2 - \frac{1}{2}\lambda'\nu' + \frac{2}{r}(\nu' - \lambda') \right) + \frac{2}{r^{2}}(e^{-\lambda} - 1) \right] \]

Na vereenvoudiging ontstaat de standaardvorm:

\[ \boxed{ \frac{\nu'}{r} + \frac{1}{r^{2}} \left( 1 - e^{\lambda} \right) = \frac{8\pi G}{c^{4}}\, p\, e^{\lambda} } \tag{9} \]

Dit is de tweede onafhankelijke Einstein‑vergelijking.

(iii) θθ-component

De derde vergelijking volgt uit \( G_{\theta\theta} = \frac{8\pi G}{c^{4}}\, p\, r^{2} \) en is equivalent aan de Tolman–Oppenheimer–Volkoff‑vergelijking.

Vervolg rr‑component — eindvorm van vergelijking (9)

Uit de vorige stap volgt:

\[ \frac{1}{2} \left( 2\frac{\nu' - \lambda'}{r} + 2\frac{\lambda'}{r} + \frac{1 - e^{\lambda}}{r^{2}} \right) = \frac{8\pi G}{c^{4}}\, p\, e^{\lambda} \]

Vereenvoudig:

\[ \frac{\nu'}{r} + \frac{1}{r^{2}}(1 - e^{\lambda}) = \frac{8\pi G}{c^{4}}\, p\, e^{\lambda} \]

Of in termen van \( e^{-\lambda} \):

\[ \frac{\nu'}{r} e^{-\lambda} + \frac{1}{r^{2}}(e^{-\lambda} - 1) = \frac{8\pi G}{c^{4}}\, p \tag{9} \]

(iii) θθ‑component

\[ G_{\theta\theta} = R_{\theta\theta} - \frac{1}{2}R\, g_{\theta\theta} = \frac{8\pi G}{c^{4}}\, p\, r^{2} \]

Invullen van de componenten:

\[ G_{\theta\theta} = 1 - e^{-\lambda} \left( 1 + \frac{r}{2}(\nu' - \lambda') \right) +\] \[ + \frac{1}{2} r^{2} e^{-\lambda} \left( \nu'' + \frac{1}{2}\nu'^2 - \frac{1}{2}\lambda'\nu' + \frac{2}{r}(\nu' - \lambda') \right) + \frac{1}{2} r^{2}\frac{2}{r^{2}}(e^{-\lambda} - 1) \]

Na vereenvoudiging:

\[ G_{\theta\theta} = \frac{1}{2} r^{2} e^{-\lambda} \left( \nu'' + \frac{1}{2}\nu'^2 - \frac{1}{2}\lambda'\nu' + \frac{1}{r}(\nu' - \lambda') \right) = \frac{8\pi G}{c^{4}}\, p\, r^{2} \]

Dus:

\[ \boxed{ \frac{1}{2} e^{-\lambda} \left( \nu'' + \frac{1}{2}\nu'^2 - \frac{1}{2}\lambda'\nu' + \frac{1}{r}(\nu' - \lambda') \right) = \frac{8\pi G}{c^{4}}\, p } \tag{10} \]

Toelichting

De drie vergelijkingen (8), (9) en (10) zijn niet onafhankelijk. Vergelijking (10) volgt wiskundig uit (8), (9) en de energiebehoudsvergelijking:

\[ \nabla_{\mu} T^{\mu}{}_{r} = 0 \]

Daarom volstaat het om (8) en (9) te gebruiken om \( \lambda(r) \), \( \nu(r) \) en \( p(r) \) af te leiden.

Appendix 5.5 — Integratie van de eerste vergelijking

We starten met vergelijking (8):

\[ \frac{1}{r^{2}} \frac{d}{dr} \left[ r\left(1 - e^{-\lambda}\right) \right] = \frac{8\pi G}{c^{2}}\, \rho \]

Vermenigvuldig met \( r^{2} \):

\[ \frac{d}{dr} \left[ r\left(1 - e^{-\lambda}\right) \right] = \frac{8\pi G}{c^{2}}\, \rho\, r^{2} \]

Integreer over \( r \):

\[ \int \frac{d}{dr} \left[ r\left(1 - e^{-\lambda}\right) \right] dr = \int \frac{8\pi G}{c^{2}}\, \rho\, r^{2}\, dr \]

Dus:

\[ r\left(1 - e^{-\lambda}\right) = \frac{8\pi G}{c^{2}}\, \rho\, \frac{r^{3}}{3} \]

Of:

\[ \boxed{ 1 - e^{-\lambda} = \frac{8\pi G}{3c^{2}}\, \rho\, r^{2} } \]

Dit is de klassieke uitkomst voor een ster met constante dichtheid: het binnenveld heeft een quadratische krommingsterm.

Resultaat van de integratie

Uit vergelijking (11):

\[ e^{-\lambda(r)} = 1 - \frac{8\pi G}{3c^{2}}\,\rho\, r^{2} \tag{11} \]

Met de definitie van de ingesloten massa:

\[ m(r) = 4\pi \int_{t}^{r} \rho\, r'^{2}\, dr' = \frac{4\pi}{3}\rho\, r^{3} \]

krijgen we de standaardvorm:

\[ \boxed{ e^{-\lambda(r)} = 1 - \frac{2Gm(r)}{c^{2}r} } \tag{12} \]

De functie \( m(r) \) is de ingesloten massa binnen straal \( r \). Voor \( r = R \) geldt \( m(R) = M \), zodat de interne oplossing continu aansluit op de buiten‑Schwarzschild‑metriek.

Appendix 5.6 — Energiebehoud en de TOV‑vergelijking

1. Energiebehoud

De behoudsvergelijking \[ \nabla_{\mu} T^{\mu}{}_{r} = 0 \] geeft:

\[ \boxed{ \frac{dp}{dr} = -\frac{1}{2}(\rho c^{2} + p)\, \nu' } \tag{13} \]

2. Elimineren van \( \nu' \) met vergelijking (9)

Uit (9):

\[ \frac{\nu'}{r} e^{-\lambda} + \frac{1}{r^{2}}(e^{-\lambda} - 1) = \frac{8\pi G}{c^{4}}\, p \]

Oplossen naar \( \nu' \):

\[ \nu' = \frac{ \frac{8\pi G}{c^{4}}\, p\, r + \frac{1}{r}\left(1 - e^{-\lambda}\right)} {e^{-\lambda}} \]

Gebruik nu (12):

\[ e^{-\lambda} = 1 - \frac{2Gm}{c^{2}r}, \qquad 1 - e^{-\lambda} = \frac{2Gm}{c^{2}r} \]

Invullen geeft:

\[ \nu' = \frac{ \frac{8\pi G}{c^{4}}\, p\, r + \frac{1}{r} \frac{2Gm}{c^{2}r}}{1 - \frac{2Gm}{c^{2}r}} \] \[ =\frac{ \frac{8\pi G}{c^{2}}\, p r^{3} + 2Gm} {c^2r^2\left(1 - \frac{2Gm}{c^{2}r}\right)} = =\frac{2G\left(m+ \frac{4\pi}{c^{2}}\, p r^{3}\right) } {c^2r^2\left(1 - \frac{2Gm}{c^{2}r}\right)} \]

Herschreven:

\[ \boxed{ \nu' = \frac{2G}{c^{2}} \frac{m + 4\pi r^{3}p/c^{2}}{r^{2}\left(1 - \frac{2Gm}{c^{2}r}\right)} } \tag{14} \]

3. De Tolman–Oppenheimer–Volkoff‑vergelijking

Combinatie van (13) en (14) geeft:

\[ \frac{dp}{dr} = -\frac{1}{2}(\rho c^{2} + p)\, \nu' \] \[ \frac{dp}{dr} = -(\rho c^{2} + p) \frac{G\left(m + 4\pi r^{3}p/c^{2}\right)}{c^{2} r^{2}\left(1 - \frac{2Gm}{c^{2}r}\right)} \]

Dus de TOV‑vergelijking luidt:

\[ \boxed{ \frac{dp}{dr} = -\frac{(\rho c^{2} + p)G\left(m + 4\pi r^{3}p/c^{2}\right)} {c^{2} r^{2}\left(1 - \frac{2Gm}{c^{2}r}\right)} } \tag{15} \]

Dit is de relativistische evenwichtsvergelijking voor een statische, sferisch symmetrische ster. Samen met de massafunctie \[ m'(r) = 4\pi r^{2}\rho \] vormt dit het volledige systeem voor de interne structuur van een ster.

Toelichting

Vergelijking (15) beschrijft het mechanisch evenwicht tussen de zwaartekracht (neerwaarts) en de drukgradiënt (opwaarts). Voor constante dichtheid \( \rho = \text{constant} \) is deze vergelijking exact oplosbaar.

Appendix 5.7 — Oplossing voor constante dichtheid

Met \[ m(r) = \frac{4\pi}{3}\rho\, r^{3} \] wordt de TOV‑vergelijking (15):

\[ \frac{dp}{dr} = - \frac{\rho c^{2} + p}{3c^{2}} \, \frac{4\pi G r \left(\rho + 3p/c^{2}\right)} {1 - \frac{8\pi G}{3c^{2}}\rho r^{2}} \tag{16} \]

Substitutie: druk als dimensieloze variabele

Definieer:

\[ x(r) \equiv \frac{p(r)}{\rho c^{2}} \qquad\Longrightarrow\qquad p = \rho c^{2} x, \quad dp = \rho c^{2}\, dx \tag{16a} \]

Vul dit in (16).

Linkerzijde

\[ \frac{dp}{dr} = \rho c^{2}\, \frac{dx}{dr} \]

Rechterzijde

\[ \rho + \frac{3p}{c^{2}} = \rho(1 + 3x), \qquad \rho c^{2} + p = \rho c^{2}(1 + x) \]

Dus vergelijking (16) wordt:

\[ \rho c^{2}\frac{dx}{dr} = - \frac{\rho c^{2}(1+x)}{3c^{2}} \, \frac{4\pi G r\, \rho(1+3x)} {1 - \beta r^{2}} \] waarbij \[ \beta \equiv \frac{8\pi G}{3c^{2}}\rho. \]

Vereenvoudig:

\[ \frac{dx}{dr} = - \frac{4\pi G \rho}{3c^{2}} \, \frac{r(1+x)(1+3x)}{1 - \beta r^{2}} \]

Introduceer nu:

\[ \beta_{2} \equiv \frac{4\pi G}{3c^{2}}\rho \] zodat: \[ \frac{dx}{dr} = - \beta_{2}\, \frac{r(1+x)(1+3x)}{1 - \beta r^{2}} \]

Scheiden van variabelen

We herschrijven:

\[ \frac{dx}{(1+x)(1+3x)} = - \beta_{2}\, \frac{r\, dr}{1 - \beta r^{2}} \]

Dit is de vorm die direct integreerbaar is:

\[ \boxed{ \int \frac{dx}{(1+x)(1+3x)} = - \beta_{2} \int \frac{r\, dr}{1 - \beta r^{2}} } \]

De linkerzijde vereist partiële breuken; de rechterzijde geeft een logaritme.

Integratie van beide zijden

We starten met:

\[ \frac{dx}{(1+x)(1+3x)} = -\beta_{2}\, \frac{r}{1 - \beta r^{2}}\, dr \]

Linker integraal — partiële breuken

We schrijven:

\[ \frac{1}{(1+x)(1+3x)} = -\frac{1}{2}\frac{1}{1+x} + \frac{3}{2}\frac{1}{1+3x} \]

Integreer term voor term:

\[ -\frac{1}{2}\int \frac{dx}{1+x} = -\frac{1}{2}\ln(1+x) + C_{1} \] \[ \frac{3}{2}\int \frac{dx}{1+3x} = \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{3}\ln(1+3x) = \frac{1}{2}\ln(1+3x) + C_{2} \]

Dus samen:

\[ \int \frac{dx}{(1+x)(1+3x)} = -\frac{1}{2}\ln(1+x) + \frac{1}{2}\ln(1+3x) + C_{3} \]

Of compacter:

\[ \int \frac{dx}{(1+x)(1+3x)} = \frac{1}{2} \ln\!\left( \frac{1+3x}{1+x} \right) + C_{3} \]

Rechter integraal

\[ -\beta_{2}\int \frac{r}{1 - \beta r^{2}}\, dr \]

Substitutie:

\[ u = 1 - \beta r^{2}, \qquad du = -2\beta r\, dr \] \[ r\, dr = -\frac{du}{2\beta} \]

Dus:

\[ -\beta_{2} \int \frac{r}{1 - \beta r^{2}}\, dr = -\beta_{2} \left( -\frac{1}{2\beta} \int \frac{du}{u} \right) = \frac{\beta_{2}}{2\beta}\ln u \]

Omdat:

\[ \beta_{2} = \frac{4\pi G}{3c^{2}}\rho, \qquad \beta = \frac{8\pi G}{3c^{2}}\rho \] geldt: \[ \frac{\beta_{2}}{2\beta} = \frac{1}{4} \]

Dus:

\[ -\beta_{2}\int \frac{r}{1 - \beta r^{2}}\, dr = \frac{1}{4}\ln(1 - \beta r^{2}) \]

Gelijkstellen van beide integralen

\[ \frac{1}{2} \ln\!\left( \frac{1+3x}{1+x} \right) = \frac{1}{4}\ln(1 - \beta r^{2}) + C_{4} \]

Vermenigvuldig met 2:

\[ \ln\!\left( \frac{1+3x}{1+x} \right) = \frac{1}{2}\ln(1 - \beta r^{2}) + C_{5} \]

Exponentieer:

\[ \left( \frac{1+3x}{1+x} \right) = C_{6}\, \sqrt{1 - \beta r^{2}} \]

De fysisch relevante tak is de positieve wortel:

\[ \boxed{ \frac{1+3x}{1+x} = C_{7}\,\sqrt{1 - \beta r^{2}} } \]

We definiëren:

\[ \alpha(r) \equiv \sqrt{1 - \beta r^{2}} \]

Bepalen van de integratieconstante \(C_{7}\)

We hadden de geïntegreerde relatie:

\[ \frac{1+3x}{1+x} = C_{7}\,\alpha(r) \]

Gebruik nu de randvoorwaarde aan het oppervlak:

\[ p(R) = 0 \quad\Rightarrow\quad x(R) = 0 \]

Invullen geeft:

\[ \frac{1+0}{1+0} = C_{7}\,\alpha(R) \] \[ 1 = C_{7}\, a \] waarbij \[ a \equiv \alpha(R) = \sqrt{1 - \beta R^{2}} = \sqrt{1 - \frac{2GM}{c^{2}R}} \]

Dus:

\[ \boxed{ C_{7} = \frac{1}{a} } \]

Oplossen voor \(x(r)\)

We hadden:

\[ \frac{1+3x}{1+x} = \frac{\alpha(r)}{a} \]

Los dit op naar \(x(r)\):

\[ 1 + 3x = \frac{\alpha(r)}{a}(1+x) \] \[ 1 + 3x = \frac{\alpha}{a} + \frac{\alpha}{a}x \] \[ 3x - \frac{\alpha}{a}x = \frac{\alpha}{a} - 1 \] \[ x\left(3 - \frac{\alpha}{a}\right) = \frac{\alpha - a}{a} \] \[ \boxed{ x(r) = \frac{\alpha(r) - a}{3a - \alpha(r)} } \tag{16b} \]

Drukprofiel \(p(r)\)

Omdat \(p = \rho c^{2} x\), volgt:

\[ \boxed{ p(r) = \rho c^{2}\, \frac{\alpha(r) - a}{3a - \alpha(r)} } \tag{18} \] waarbij: \[ \alpha(r) =\sqrt{ 1 - \beta r^{2}}, \qquad \beta = \frac{8\pi G}{3c^{2}}\rho, \qquad a = \alpha(R) = \sqrt{1 - \frac{2GM}{c^{2}R}} \]

Controlepunten

Dit is precies de klassieke interne Schwarzschild‑oplossing voor constante dichtheid.

Vervolg

Uit vergelijking (13):

\[ \frac{dp}{dr} = -\frac{1}{2}(\rho c^{2} + p)\,\nu' \]

kunnen we nu \( \nu'(r) \) integreren om de tijdcomponent van de metriek te vinden:

\[ e^{\nu(r)} \]

Afleiding van de tijdcomponent van de metriek

We beginnen met vergelijking (19):

\[ \frac{d\nu}{dr} = -2\,\frac{\rho c^{2} + p}{dp/dr} \tag{19} \]

Gebruik de kettingregel:

\[ \frac{d\nu}{dr} = \frac{d\nu}{dp}\,\frac{dp}{dr} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\nu}{dp} = -\frac{2}{\rho c^{2} + p} \]

Integratie naar \(p\)

\[ \nu = -2\ln(\rho c^{2} + p) + \ln C' = \ln\!\frac{C'}{ (\rho c^{2} + p)^{2} } \]

Exponentieer:

\[ e^{\nu/2} = \frac{C''}{\rho c^{2} + p} \qquad (C''>0) \]

Gebruik de drukoplossing (18)

Volgens (18):

\[ p(r) = \rho c^{2}\, \frac{\alpha(r) - a}{3a - \alpha(r)} \]

Dus:

\[ \rho c^{2} + p = \rho c^{2} \left( 1 + \frac{\alpha - a}{3a - \alpha} \right) = \rho c^{2}\, \frac{2a}{3a - \alpha(r)} \]

Invullen in \(e^{\nu/2}\):

\[ e^{\nu/2} = \frac{C''}{\rho c^{2} + p} = \frac{C''}{\rho c^{2}} \frac{3a - \alpha(r)}{2a} \tag{19b} \]

Bepalen van de integratieconstante \(C''\)

Aan het oppervlak \(r = R\) geldt:

\[ p(R) = 0, \qquad \alpha(R) = a, \qquad e^{\nu(R)/2} = a =\sqrt{ 1 - \frac{2GM}{c^{2}R}} \]

Invullen in (19b):

\[ a = \frac{C''}{\rho c^{2}} \frac{3a-a}{2a} = \frac{C''}{\rho c^{2}} \]

Dus:

\[ \boxed{ C'' = a\,\rho c^{2} } \]

Eindresultaat

\[ e^{\nu/2} = \frac{a\rho c^{2}}{\rho c^{2}} \, \frac{3a-\alpha(r)}{2a} \]

Omdat:

\[ \alpha(r) =\sqrt{ 1 - \beta r^{2}}, \qquad \beta = \frac{8\pi G}{3c^{2}}\rho, \qquad a = \sqrt{1 - \frac{2GM}{c^{2}R}} \]

krijgen we:

\[ \boxed{ e^{\nu(r)/2} = \frac{3a - \alpha(r)}{2} = \frac{3a - \sqrt{1 - \beta r^{2}}}{2} } \tag{20} \]

Of expliciet:

\[ \boxed{ e^{\nu(r)/2} = \frac{3a - \sqrt{1 - \frac{8\pi G}{3c^{2}}\rho\, r^{2}}}{2} } \tag{21} \]

Dit is de tijdcomponent van de interne Schwarzschild‑metriek voor een ster met constante dichtheid.

Volledige interne metriek

De binnenoplossing voor een homogene bol met straal \(0 \le r \le R\) luidt:

\[ ds^{2} = \left( \frac{3a - \alpha(r)}{2} \right)^{2} c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}}{\alpha^2(r)} - r^{2}\left(d\theta^{2} + \sin^{2}\theta\, d\phi^{2}\right) \tag{22} \] waarbij \[ \alpha(r) = \sqrt{1 - \frac{8\pi G}{3c^{2}}\rho\, r^{2}}, \qquad a = \alpha(R) = \sqrt{1 - \frac{2GM}{c^{2}R}}. \]

Gebruik van de massarelaties

Omdat:

\[ M = \frac{4\pi}{3}\rho R^{3} \quad\Rightarrow\quad \rho = \frac{3M}{4\pi R^{3}}, \] volgt: \[ \frac{8\pi G}{3c^{2}}\rho r^{2} = \frac{2GM}{c^{2}R}\frac{r^{2}}{R^{2}}. \]

Ingevuld in (22) geeft:

\[ \boxed{ ds^{2} = \left( \frac{3\sqrt{1 - \frac{2GM}{c^{2}R}} - \sqrt{1 - \frac{2GM}{c^{2}R}\frac{r^{2}}{R^{2}}}} {2} \right)^{2} c^{2} dt^{2} - \frac{dr^{2}} {1 - \frac{2GM}{c^{2}R}\frac{r^{2}}{R^{2}}} - r^{2}\left(d\theta^{2} + \sin^{2}\theta\, d\phi^{2}\right) \tag{22a} } \]

Toelichting

Deze metriek beschrijft de ruimtetijd binnen een homogene bol. Voor \(r = R\) volgt continuïteit met de buiten‑Schwarzschild‑oplossing:

\[ e^{-\lambda(R)} = 1 - \frac{2GM}{c^{2}R}, \qquad e^{\nu(R)} = 1 - \frac{2GM}{c^{2}R}. \]

Appendix 5.8 — Centrale druk en Buchdahl‑limiet

Uit \( \alpha(0) = 1 \) volgt voor de centrale druk:

\[ p(0) = \rho c^{2} \frac{1 - a}{3a - 1} \tag{23} \] met \[ a = \sqrt{1 - \frac{2GM}{c^{2}R}}. \]

Wanneer de noemer nul wordt, divergeert de centrale druk:

\[ 3a - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = \frac{1}{3}. \]

Dit geeft de Buchdahl‑limiet:

\[ \boxed{ \frac{2GM}{c^{2}R} = \frac{8}{9} } \tag{24} \]

Deze limiet markeert de maximale compactheid voor een stabiele, statische configuratie met constante dichtheid. Wordt deze overschreden, dan kan geen hydrostatisch evenwicht meer bestaan en stort de ster in tot een zwart gat.

Appendix 5.9 — Samenvatting