De Algemene Relativiteitstheorie van Einstein

Afleidingen, Toepassingen en Beschouwingen – door Albert Prins

Appendix 4 – De Schwarzschild Formule uitgebreid voor Elektrische Ladingen

Reissner–Nordström-metriek

De juiste oplossing binnen de algemene relativiteitstheorie voor een geladen, niet-draaiende, sferisch symmetrische massa is de Reissner–Nordström-metriek (1918). Deze metriek beschrijft het ruimtetijd-interval rond een geladen massa en verwerkt zowel de gravitationele als de elektrische bijdrage:

\[ ds^{2} = c^{2} d\tau^{2} = \left( 1 - \frac{2GM}{c^{2} r} + \frac{GQ^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} c^{4} r^{2}} \right) c^{2} dt^{2} - \left( 1 - \frac{2GM}{c^{2} r} + \frac{GQ^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} c^{4} r^{2}} \right)^{-1} dr^{2} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2}\theta\, d\phi^{2} \]

of

\[ ds^{2} = c^{2} d\tau^{2} = \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} + \frac{r_{Q}^{2}}{r^{2}} \right) c^{2} dt^{2} - \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} + \frac{r_{Q}^{2}}{r^{2}} \right)^{-1} dr^{2} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2}\theta\, d\phi^{2} \]

waarbij:

Interpretatie

In de klassieke natuurkunde van Newton is er in het vacuüm een gravitatieveld. Echter volgens Einstein is er geen gravitatieveld, maar is ruimte‑tijd vervormd ten gevolge van gravitatie. In dat geval geldt dat \( T_{\mu\nu} = 0 \).

In het geval van de Reissner–Nordström‑oplossing is de stress‑energie‑tensor \( T_{\mu\nu} \) niet overal nul, zelfs al spreekt men van een “vacuüm”.

Uitleg

Samengevat: in de Reissner–Nordström-metriek is \( T_{\mu\nu} \neq 0 \) in het “vacuüm” omdat het elektromagnetisch veld van de lading fysisch reëel is en energie bevat.

Afleiding van de Reissner–Nordström-metriek

Hier volgt een stap-voor-stap afleiding van de Reissner–Nordström-metriek vanaf de Einstein–Maxwell-vergelijkingen. Dit is de standaardprocedure in de algemene relativiteitstheorie om de ruimtetijd van een sferisch symmetrische, geladen massa te bepalen.

Stap 1: Uitgangspunten — metriek en bron

We zoeken een statische, sferisch symmetrische oplossing in de vorm (sferische coördinaten):

\[ ds^{2} = c^{2} d\tau^{2} = A(r)\, c^{2} dt^{2} - B(r)\, dr^{2} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2}\theta\, d\phi^{2} \]

waarbij \( A(r) \) en \( B(r) \) onbekende functies van de radius \( r \) zijn.

Hierbij is:

Voor de vier-potentiaal nemen we:

\[ A_{\mu} = \left( \frac{\Phi}{c},\, -\mathbf{A} \right) \quad \text{of} \quad A^{\mu} = \left( \frac{\Phi}{c},\, \mathbf{A} \right) \]

De elektromagnetische veldtensor

De elektromagnetische veldtensor (electromagnetic field strength tensor) \( F_{\mu\nu} \) bevat alle informatie over het elektrische veld \( \mathbf{E} \) en het magnetische veld \( \mathbf{B} \).

In matrixvorm geldt:

\[ F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_{x}/c & -E_{y}/c & -E_{z}/c \\ E_{x}/c & 0 & -B_{z} & B_{y} \\ E_{y}/c & B_{z} & 0 & -B_{x} \\ E_{z}/c & -B_{y} & B_{x} & 0 \end{pmatrix} \]

Voor een zuiver radiaal elektrisch veld van een puntlading \( Q \) wordt dit:

\[ F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{Q}{r^{2}} & 0 & 0 \\ -\frac{Q}{r^{2}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

Het enige niet‑nul component van \( F_{\mu\nu} \) in dit radiale veld is:

\[ F_{tr} = -F_{rt} = \frac{Q}{r^{2}} \]

Stap 2: Einstein–Maxwell‑vergelijkingen

De Einstein‑vergelijking met elektromagnetische bron is:

\[ G_{\mu\nu} = 8\pi\, T_{\mu\nu} \]

waarbij \( G_{\mu\nu} \) de Einstein‑tensor is van de metriek.

De Maxwell‑vergelijkingen in vacuüm zijn:

\[ \nabla_{\mu} F^{\mu\nu} = 0, \qquad \nabla_{[\alpha} F_{\beta\gamma]} = 0 \]

Voor de statische, sferisch‑symmetrische situatie volgt:

\[ F^{tr} = \frac{Q}{r^{2}} \sqrt{\frac{1}{A(r) B(r)}} \]

Stap 3: Berekenen van de Einstein‑tensor

De Einstein‑tensorcomponenten voor de algemene metriek \[ ds^{2} = A(r)c^{2}dt^{2} - B(r)dr^{2} - r^{2}d\theta^{2} - r^{2}\sin^{2}\theta\, d\phi^{2} \] zijn:

\[ G_t^t = \frac{B'}{r B^{2}} + \frac{1}{r^{2}}\left(1 - \frac{1}{B}\right) \] \[ G_r^r = \frac{A'}{r A B} - \frac{1}{r^{2}}\left(1 - \frac{1}{B}\right) \] \[ G_\theta^\theta = G_\phi^\phi = \frac{1}{4AB} \left( 2A'' - A' \frac{B'}{B} + \frac{A'^2}{A} \right) - \frac{1}{2rB} \left( \frac{A'}{A} - \frac{B'}{B} \right) \]

waar een prime (′) differentiëren naar \( r \) betekent.

Stap 4: Stress‑energie‑tensorcomponenten

De stress‑energie‑tensor van het elektrische veld is diagonaal met:

\[ T_t^t = T_r^r = -\frac{Q^{2}}{8\pi r^{4}}, \qquad T_\theta^\theta = T_\phi^\phi = \frac{Q^{2}}{8\pi r^{4}} \]

Stap 5: Vergelijkingen koppelen en oplossen

De Einstein‑vergelijkingen worden expliciet:

\[ \frac{B'}{r B^{2}} + \frac{1}{r^{2}}\left(1 - \frac{1}{B}\right) = -\frac{Q^{2}}{r^{4}} \] \[ \frac{A'}{r A B} - \frac{1}{r^{2}}\left(1 - \frac{1}{B}\right) = -\frac{Q^{2}}{r^{4}} \]

Oplossen van dit stelsel leidt tot:

\[ A(r) = \frac{1}{B(r)} = 1 - \frac{2M}{r} + \frac{Q^{2}}{r^{2}} \]

waarbij \( M \) een integratieconstante is die de massa vertegenwoordigt (in geometrische eenheden).

Stap 6: Resultaat — Reissner–Nordström‑metriek

De oplossing is nu de metrieklijn:

\[ ds^{2} = \left( 1 - \frac{2GM}{c^{2} r} + \frac{GQ^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} c^{4} r^{2}} \right)c^{2} dt^{2} - \left( 1 - \frac{2GM}{c^{2} r} + \frac{GQ^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} c^{4} r^{2}} \right)^{-1} dr^{2} - r^{2} d\Omega^{2} \]

waar \[ d\Omega^{2} = d\theta^{2} + \sin^{2}\theta\, d\phi^{2}. \]

Conclusie

De Reissner–Nordström‑metriek is de unieke statische, sferisch symmetrische oplossing van de Einstein–Maxwell‑vergelijkingen met een puntmassa en elektrische lading. Dit betekent dat zowel gravitationele als elektromagnetische krachten worden meegenomen in de ruimtetijdbeschrijving.

Opmerking over de kosmologische constante

De klassieke Schwarzschild‑oplossing is een exacte oplossing van Einstein’s veldvergelijkingen, maar onder de expliciete aanname dat de kosmologische constante \( \lambda = 0 \) is. In de originele Schwarzschild‑afleiding wordt deze \( \lambda \)-term dus verwaarloosd of afwezig gelaten, wat betekent dat de metriek geen rekening houdt met kosmologische expansie of repulsie die door een niet‑nul \( \lambda \) zou worden veroorzaakt.

In hoeverre wordt \( \lambda \) meegerekend?

\[ ds^{2} = c^{2} d\tau^{2} = \left(1 - \frac{2GM}{c^{2} r}\right)c^{2} dt^{2} - \left(1 - \frac{2GM}{c^{2} r}\right)^{-1} dr^{2} - r^{2} d\theta^{2} - r^{2} \sin^{2}\theta\, d\phi^{2} \]

of …

Schwarzschild‑metriek

\[ ds^{2} = c^{2} d\tau^{2} = \left(1 - \frac{r_{s}}{r}\right)c^{2} dt^{2} - \left(1 - \frac{r_{s}}{r}\right)^{-1} dr^{2} - r^{2} d\Omega^{2} \]

waarbij \( r_{s} = \frac{2GM}{c^{2}} \) en \[ d\Omega^{2} = d\theta^{2} + \sin^{2}\theta\, d\phi^{2}. \]

Volledige Einsteinvergelijking

\[ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R\, g_{\mu\nu} + \lambda g_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu} \]

In de Schwarzschild‑afleiding wordt \( \lambda = 0 \) genomen (dus géén kosmologische constante).

Als \( \lambda \neq 0 \): de Schwarzschild–de Sitter metriek

Wanneer de \( \lambda \)-term wel wordt meegenomen, ontstaat de Schwarzschild–de Sitter (of Kottler) metriek:

\[ ds^{2} = \left(1 - \frac{r_{s}}{r} - \frac{\lambda r^{2}}{3}\right)c^{2} dt^{2} - \left(1 - \frac{r_{s}}{r} - \frac{\lambda r^{2}}{3}\right)^{-1} dr^{2} - r^{2} d\Omega^{2} \]

Dit is eveneens een exacte oplossing, maar bevat nu expliciet de kosmologische constante en beschrijft bijvoorbeeld een zwart gat in een uitdijend universum.

Conclusie

Dus: de klassieke Schwarzschild‑metriek is exact, maar alleen onder de aanname dat de kosmologische constante geen rol speelt.

Reissner–Nordström–de Sitter metriek

Wanneer we de Schwarzschild–de Sitter metriek combineren met de Reissner–Nordström‑metriek, ontstaat de Reissner–Nordström–de Sitter‑oplossing:

\[ ds^{2} = \left( 1 - \frac{2GM}{c^{2} r} + \frac{GQ^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} c^{4} r^{2}} - \frac{\lambda r^{2}}{3} \right)c^{2} dt^{2} - \left( 1 - \frac{2GM}{c^{2} r} + \frac{GQ^{2}}{4\pi\varepsilon_{0} c^{4} r^{2}} - \frac{\lambda r^{2}}{3} \right)^{-1} dr^{2} - r^{2} d\Omega^{2} \]

Uitleg van de termen

Speciale gevallen